معادلات دیفرانسیل(میکروطبقه بندی شده)

در یک دهه اخیر به دلیل رضایت دانشجویان از کتاب‌های ریاضیات مهندسی، ریاضی عمومی (۱) و ریاضی عمومی (۲) اینجانب، داوطلبان زیادی به بنده لطف داشته و درخواست تألیف کتاب معادلات دیفرانسیل با همان سبک و سیاق سه کتاب دیگر را داشتند. متأسفانه به دلیل حجم زیاد کارها تألیف این کتاب میسر نبود. از اواخر سال ۹۷ فرصتی پدید آمد تا تألیف این کتاب را شروع کرده و تا این تاریخ آن را به پایان برسانم. این کتاب به صورت میکروطبقه‌بندی مهیا شده و دارای ویژگی‌های زیر است:

۱) همانند سایر کتاب‌های تألیفی بنده، توضیحات ساده و روان فارسی و گام‌ به گام در آموزش مطالب رعایت شده است و پس از هر نکته یا فرمول، تست تألیفی و پس از آن تست کنکور مربوط به آن آورده شده است. به نظر برخی داوطلبان رتبه‌های تک رقمی دو سال اخیر به لحاظ آموزشی و نوع تست‌ها، کتاب بسیار جامع و مفید و دارای برتری نسبت به سایر کتب مشابه می‌باشد.

۲) حجم مثال‌های حل شده در هر مبحث، براساس تکرار سؤالات آن مبحث در آزمون‌های کارشناسی ارشد و دکتری ۱۰ سال گذشته بوده است. بدیهی است مباحث پرتکرار و مدنظر طراحان در سالیان اخیر با مثال‌های تألیفی و کنکور بیشتری همراه شده‌اند. ضمناً تست‌های تکراری نیز در قسمت‌ آموزشی وجود ندارند.

۳) با مطالعه‌ی این کتاب دیگر نیازی به تهیه کتاب دیگر نیست و داوطلبان با تهیه آن، مطالب آموزشی، تست‌های تألیفی و تست‌های آزمون‌های کارشناسی ارشد تا سال ۹۸ را یک‌جا دارند. در واقع داوطلب با تهیه این کتاب علاوه بر اینکه سؤالات تا سال ۹۸ را در کتاب خود دارد، تست‌های تألیفی و تست‌های خوب سالیان دور را نیز دارد و لازم نیست هزینه‌ی دیگری کند.

۴) کتاب براساس آخرین دیدگاه طراحان و با بررسی سؤالات اخیر تا آزمون‌ سال ۹۸ تهیه و تدوین شده است.

۵) در پايان هر فصل كتاب، ۳ آزمون خودسنجي آورده شده است. اين آزمون‌ها براي تمرين بيشتر و همچنين سنجش خواننده از خود، پس از مطالعه‌ي آن فصل مي‌باشد كه در سه سطح C (سطح سؤالات همانند آزمون اصلي و در برخي موارد كمي هم ساده‌تر)، B (سطح سؤالات كمي بالاتر از آزمون اصلي و در برخي موارد همانند آزمون اصلي) و A (سطح سؤالات سخت‌تر از آزمون اصلي) دسته‌بندي شده است.

پيشنهاد مي‌شود در دور دوم مطالعه‌ي كتاب و پس از تسلط به تمامي مطالب، حل مثال‌هاي تأليفي درون هر درسنامه و همچنين مرور و مطالعه تست‌هاي طبقه‌بندي شده سؤالات آزمون‌هاي سال‌ گذشته، به سؤالات سطح C و B پاسخ دهيد و در پايان پاسخ‌هاي خود را با كليد داده شده مقايسه كنيد. در صورت نياز نيز مي‌توانيد پاسخ تشريحي اين آزمون‌ها را از وب سايت www.h-nami.irدريافت نماييد. داوطلباني كه به‌طور كامل كتاب را مطالعه كرده‌اند، در صورت داشتن زمان كافي مي‌توانند سؤالات و پاسخ‌هاي آزمون سطح A را نيز بررسي كنند و به هيچ‌وجه هم نگران پاسخ ندادن به سؤالات اين آزمون نباشند، چرا كه سؤالات آزمون سطح A (البته در برخي فصول) بسيار سخت طراحي شده‌اند.

۶) مطالب اين كتاب به گونه‌اي تنظيم شده كه مي‌تواند به عنوان مرجع كامل درس «معادلات دیفرانسیل» جهت موفقيت در امتحانات پايان ترم دانشگاهي نيز مورد استفاده قرار بگيرد. بسياري از مسائل مهم پايان ترم دانشگاه‌هاي مهم کشور در اين كتاب ارائه و به آن‌ها پاسخ تشريحي داده شده است.

۷) برخی داوطلبان در حل سؤالات معادلات دیفرانسیل به مشکل حل انتگرال‌ها برخورد می‌کنند. برای این منظور فایل خلاصه روش‌های انتگرال‌گیری (در حدود ۲۵ صفحه) در وب سایت بنده قرار داده شده است، این دوستان می‌توانند این فایل را به طور رایگان دانلود کنند.

با توجه به اينكه هيچ تأليفي خالي از اشكال نيست، لذا از همه استادان و دانشجويان تقاضا دارم اشكالات اين كتاب را از طريق وب سایت شخصی اینجانب به آدرس www.h-nami.ir اطلاع دهند. در ضمن در این وب سایت پشتیبانی و رفع اشکال درسی نیز صورت می­گیرد.

فصل اول:  «معادلات دیفرانسیل»

درسنامه1: مفاهيم اوليه معادله دیفرانسیل.................... 1

انواع جواب­های یک معادله دیفرانسیل....................... 3

تشکیل یک معادله دیفرانسیل............................... 4

تغییر متغیر در معادلات دیفرانسیل......................... 5

قضیه وجود یکتایی جواب................................... 6

درسنامه2: معادلات تفكيك‌پذير (جداشدني) ...................... 9

معادلات قابل تبدیل به معادلات تفکیک­پذیر................. 12

استفاده از تغییر متغیرهای دیگر در حل معادلات تفکیک‌پذیر. 21

درسنامه3: معادلات كامل.................................... 24

معادلات دیفرانسیل قابل تبدیل به معادله کامل و معرفی عامل انتگرال­ساز........................................................ 28

حالت­های پرتکرار و خاص عوامل انتگرال­ساز................ 30

جمع­بندی مناسب برای تعیین عامل انتگرال­ساز.............. 32

استفاده از دسته­بندی و روش دیفرانسیل کامل.............. 36

درسنامه4: معادلات مرتبه اول خطي........................... 42

مراحل حل معادله مرتبه اول خطی.......................... 43

معادله دیفرانسیل خطی برحسب .......................... 47

تعیین نقاط ناپیوستگی جواب یک معادله خطی بدون حل معادله 49

ضرایب ناپیوسته......................................... 49

معادلات قابل تبدیل به معادله­ی خطی مرتبه اول............ 50

درسنامه5: معادلات برنولي و ريكاتي.......................... 56

معادله ریکاتی.......................................... 64

درسنامه6: تعريف پوش، حل معادلات مرتبه اول خاص.............. 66

پوش یک دسته منحنی...................................... 66

حل معادلات مرتبه اول خاص................................ 67

درسنامه7: معادلات كِلِرو و لاگرانژ........................... 74

معادله کِلِرو............................................ 74

نحوه­ی به دست آوردن جواب­های عمومی و غیرعادی معادله کلرو 74

معادله لاگرانژ.......................................... 76

درسنامه8: كاربرد معادلات ديفرانسيل......................... 78

مسیرهای قائم (متعامد) ................................. 78

روش تعیین مسیرهای قائم ................................ 78

مسیرهای مایل(هم­زاویه) ................................. 82

روش تعيين مسيرهاي هم‌زاویه.............................. 82

کاربردهای دیگر معادلات دیفرانسیل........................ 83

تشخیص نوع معادله و روش حل آن و درجه­ی اهمیت درسنامه­های این فصل........................................................ 85

تشخیص نوع و روش حل در معادلات دیفرانسیل مرتبه اول...... 85

الف) معادلاتی که بر رویعملگر غیرخطی اعمال نشده است .. 85

ب‌) معادلاتی که بر روی عملگر غیرخطی اعمال شده است .... 92

چه درسنامه‌هایی از فصل اول مهم‌تر هستند؟................ 94

آزمون­های خودسنجی فصل اول............................... 95

پاسخنامه آزمون­های خودسنجی فصل اول.................... 104

فصل دوم: «معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم»

مقدمه.................................................... 105

درسنامه1: حل معادلات دیفرانسیل خطی همگن با ضرایب ثابت مرتبه دوم و بالاتر......................................................... 107

حل معادلات مرتبه دوم خطی همگن با ضرایب ثابت............. 107

تعریف جواب خصوصی و تعداد شرایط اولیه لازم برای تعیین جواب‌های معادله‌ی همگن..................................................... 108

بحث در مورد میرایی و نوسانی بودن جواب‌های معادله مرتبه دوم خطی همگن با ضرایب ثابت............................................ 111

حل معادلات مرتبه nام خطی همگن با ضرایب ثابت............. 112

جمع­بندی و یادآوری نکاتی جهت محاسبه‌ی ریشه‌های معادله‌ی مشخصه 115

درسنامه2: حل معادلات دیفرانسیل خطی غیرهمگن با ضرایب ثابت.... 117

روش‌های تعیین جواب خصوصی................................. 117

1ـ روش‌ ضرایب نامعین..................................... 117

2ـ تعیین جواب خصوصی به روش اپراتور معکوس............... 124

3ـ روش تغییر پارامتر لاگرانژ............................. 133

روش تغيير پارامتر برای تعیین جواب خصوصی معادله‌ی مرتبه دوم غیرهمگن......................................................... 133

حل معادلات مرتبهام به روش تغییر پارامتر................ 136

جمع­بندی روش‌های تعیین جواب خصوصی......................... 137

مفهوم استقلال و وابستگی خطی توابع........................ 143

درسنامه3: حل معادلات دیفرانسیل خطی با ضرایب متغیر (همگن و غیرهمگن)   148

حل معادلات غیرهمگن با ضرایب متغیر به روش تغییر پارامتر لاگرانژ   148

معادلات کوشی اویلر  ..................................... 150

3ـ حل با داشتن یک جواب از معادله (روش کاهش مرتبه) ..... 161

4ـ حل به روش تبدیل معادله به ضرایب ثابت................ 164

5ـ روش حذف ضریب مشتق.................................... 165

6ـ حل معادلات کامل مرتبه دوم............................. 167

درسنامه4: حل معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم غیرخطی............. 168

معادله همگن نسبت به yو مشتقات آن........................ 171

معادلات دیفرانسیل کامل................................... 172

چند تغییر متغیر خاص در حل معادلات غیرخطی (دیفرانسیل کامل‌های پرتکرار) ......................................................... 172

آزمون ­(1) خودسنجی فصل دوم............................... 175

پاسخنامه آزمون ­(1) خودسنجی فصل دوم...................... 176

آزمون (2) خودسنجی فصل دوم............................... 177

پاسخنامه آزمون (2) خودسنجی فصل دوم...................... 178

آزمون­ (3) خودسنجی فصل دوم............................... 179

پاسخنامه آزمون (3) خودسنجی فصل دوم...................... 180

فصل سوم: «حل معادلات دیفرانسیل با استفاده از سری‌های توانی»

مقدمه.................................................... 181

درسنامه1: انواع نقاط مورد بحث در حل معادله به کمک سری...... 184

درسنامه2: حل معادله حول نقطه عادی به کمک سری............... 187

درسنامه3: حل معادله حول نقطه غیرعادی منظم به کمک سری....... 196

درسنامه4: معادلات دیفرانسیل معروف با جواب­های خاص به صورت سری 204

معادله دیفرانسیل لژاندر .............................. 204

تابع گاما ............................................. 208

معادله دیفرانسیل بسل ................................. 210

آزمون ­(1) خودسنجی فصل سوم............................. 222

پاسخنامه آزمون ­(1) خودسنجی فصل سوم................... 223

آزمون (2) خودسنجی فصل سوم............................. 224

پاسخنامه آزمون (2) خودسنجی فصل سوم................... 225

آزمون ­(3) خودسنجی فصل سوم............................. 226

پاسخنامه آزمون (3) خودسنجی فصل سوم................... 227

فصل چهارم: «تبدیل لاپلاس و کاربردهای آن»

درسنامه1: تبدیل لاپلاس.................................... 228

شرط کافی برای وجود تبدیل لاپلاس تابع ............... 232

معرفی توابع خاص....................................... 233

عکس تبدیل لاپلاس........................................ 240

روش تجزیه کسر‌ها برای به دست آوردن معکوس لاپلاس......... 243

روش‌های تعیین ضرایب مجهول در تجزیه کسر به کسرهای جزیی 244

درسنامه2: قضایای تبدیل لاپلاس.............................. 247

قضیه اول انتقال....................................... 247

قضیه دوم انتقال ...................................... 249

قضیه سوم انتقال....................................... 252

تغییر مقیاس............................................ 252

قضیه مشتق‌گیری از تبدیل لاپلاس .......................... 253

قضیه تبدیل لاپلاس مشتقات یک تابع........................ 256

قضیه انتگرال‌گیری از تبدیل لاپلاس........................ 258

قضیه تبدیل لاپلاس از انتگرال............................ 260

قضایای مقدار اولیه و مقدار نهایی..................... 264

درسنامه3:کاربردهای تبدیل لاپلاس........................... 266

معادلات دیفرانسیل معمولی............................... 266

معادلات انتگرالی....................................... 278

دستگاه معادلات دیفرانسیل............................... 283

1ـ حل دستگاه معادلات خطی با استفاده از تبدیل لاپلاس..... 283

2ـ روش اپراتور ..................................... 287

3ـ روش حذفی............................................ 289

آزمون ­(1) خودسنجی فصل چهارم........................... 291

پاسخنامه آزمون ­(1) خودسنجی فصل چهارم................. 292

آزمون (2) خودسنجی فصل چهارم........................... 293

پاسخنامه آزمون (2) خودسنجی فصل چهارم................. 294

آزمون­ (3) خودسنجی فصل چهارم........................... 295

پاسخنامه آزمون (3) خودسنجی فصل چهارم................. 296

سؤالات آزمون سراسری 98................................. 297

پاسخنامه آزمون سراسری 98.............................. 301

منابع و مراجع ........................................ 314

• دانلود فایل قسمتی از کتاب معادلات دیفرانسیل (میکرو طبقه بندی شده)
• دانلود فایل متمم کتاب معادلات دیفرانسیل ارشد و دکتری