ریاضی عمومی ۲ (میکروطبقه بندی شده)
برخی رشته ها این کتاب با نگارش ساده و اجتناب از بیان مطالب غیرضروری سعی داشته داوطلبان آزمون کارشناسی ارشد در کمترین زمان بدون نیاز به کتب دیگر بهترین نتیجه گیری را داشته باشند.
مشاهده توضیحات کامل شابک: 9789641110750
تعداد صفحات: 538
نوبت چاپ: 21
تاریخ چاپ: 1398
مولف : مهندس حسین نامی
برای دانلود رایگان کتاب ریاضی عمومی ۲ (میکروطبقه بندی شده) مدرسان شریف (بخشی از کتاب) برروی لینک زیر کلیک نمایید. دانلود قسمتی از کتاب نوع فایل: pdf
حجم فایل: 1MB
ممكن است براي گروهي از دانشجويان، درس رياضي عمومي (۱) ساده باشد. علت اين موضوع، داشتن پيش‌زمينه در مباحثي مانند حد، مشتق، انتگرال و ... از دوره دبيرستان و قبل از دانشگاه است. اما يادگيري درس رياضي عمومي (۲)، براي تمامي داوطلبان سخت‌تر از درس رياضي عمومي (۱) است و دليل آن اين است كه بيشتر مباحث آن براي اولين بار بعد از ورود به دانشگاه مطرح مي‌شود (با صرف‌نظر از مباحثي مانند جبر خطي و هندسه تحليلي). براي همين سعي شده است مطالب اين كتاب از پايه تا پيشرفته و با در نظر گرفتن اينكه داوطلب هيچ سابقه‌ي مطالعاتي در اين درس ندارد،
با توضيحات فراوان فارسي آموزش داده شود و اطمينان دارم كه صرفاً با خواندن و دوره كردن اين كتاب مي‌توانيد تسلط كافي در اين درس را براي هر آزموني پيدا كنيد.
از ويژگي‌هاي بارز اين كتاب كه آن را از ديگر كتاب‌هاي موجود در اين زمينه متمايز مي‌كند، موارد زير را مي‌توان نام برد:
۱) نگارش ساده‌ي اين كتاب و استفاده از فارسي‌نويسي در كنار مطالب و فرمول‌هاي رياضي و همچنين اجتناب از اثبات فرمول‌هاي پيچيده رياضي و مطالب غيرضروري باعث مي‌شود خواننده بسيار راحت با كتاب ارتباط برقرار كرده و به اصطلاح با رياضي (۲) آشتي كند!
۲) هر فصل كتاب به‌صورت ميكروطبقه‌بندي تنظيم شده است. به اين مفهوم كه هر فصل به زيربخش‌هايي تحت عنوان «درسنامه» تقسيم شده و پس از آموزش و توضيحات كامل، مثالهای تألیفی و تستهای منتخب آزمونهای کارشناسی ارشد سالیان گذشته (با تأکید بر چند سال اخیر) آورده شده است. اين روش ذهن را بسيار منظم كرده و اشتياق يادگيري را بالاتر مي‌برد.
۳) كتاب مبتني بر حل مسأله و ارائه تست‌هاي متنوع و جالب جهت ايجاد تبحر در حل سؤال است و بي‌اغراق مي‌توان گفت كمتر سؤالي ممكن است در آزمون‌هاي آينده طرح شود كه عين يا شبيه آن در اين كتاب نباشد! ضمن اينكه از حيث تعداد مثال‌هاي متنوع حل شده نيز مي‌توان كتاب را در بين كتب حال حاضر بي‌نظير دانست.
۴) برای داوطلبانی که نیاز به تمرین بیشتر دارند، سؤالات و پاسخهای تشریحی اضافی (چه سؤالات تألیفی و چه سؤالات کنکور سالیان گذشته) بر روی سایت www.h-nami.ir قرار داده شده است که میتوانند به صورت رایگان آن را دانلود نمایند.
۵) در انتهاي كتاب، سؤالات رياضي عمومي (۱) و (۲) رشته‌هايي كه بيشترين شركت‌كننده را دارند (عمران، MBA، مكانيك، رياضي و آمار و کامپیوتر) سال ۱۳۹۸ آورده شده است. لازم به‌ذكر است به‌دليل قرار گرفتن سؤالات رياضي عمومي (۱) و (۲) در كنار هم، اين بخش مي‌تواند محك خوبي براي داوطلبان در روزهای پاياني نزديك به آزمون باشد.
اصولاً پيشنهاد بنده اين است كه در هفتهی آخر قبل از آزمون اصلي اين سؤالات و پاسخ‌ها مطالعه شوند و ترجيحاً داوطلبان مانند آزمون اصلي و در همان زمان‌بندي به اين سؤالات پاسخ دهند تا نوعي خودسنجي نيز صورت گرفته باشد. لازم است اشاره كنم سؤالات و پاسخ‌هاي تشريحي آزمون‌هاي كارشناسي ارشد ساير رشته‌ها بر روي وب سايت www.h-nami.ir قرار گرفته است و داوطلبان مي‌توانند در صورت نياز آنها را دانلود (رايگان) كرده و مطالعه كنند.
۶) مطالب اين كتاب به گونه‌اي تنظيم شده كه مي‌تواند به عنوان مرجع كامل درس «رياضي عمومي (۲)» جهت موفقيت در امتحانات پايان ترم دانشگاهي نيز مورد استفاده قرار بگيرد. برخی از مسائل مهم پايان ترم دانشگاه‌هاي جهان و ايران در اين كتاب ارائه و به آنها پاسخ تشريحي داده شده است.
با توجه به اينكه هيچ تأليفي خالي از اشكال نيست، لذا از همه استادان و دانشجويان تقاضا دارم اشكالات اين كتاب را از طريق وب سایت شخصی اینجانب به آدرس www.h-nami.ir اطلاع دهند، در ضمن در این وب سایت پشتیبانی و رفع اشکال درسی نیز صورت میگیرد.
فصل اول: هندسه تحليلي و جبرخطي
درسنامه1: ماتريس و خواص آن ............................. 1
ماتريس.............................................. 1
اعمال جبري روي ماتريس‌ها............................. 2
ماتريس ترانهاده (Transpose)........................... 5
اثر ماتريس (trace).................................... 6
درسنامه2: دترمينان و كاربردهاي آن........................ 7
محاسبه‌ي دترمينان.................................... 7
ويژگي‌هاي دترمينان................................... 8
وارون (معكوس) يك ماتريس مرتبه n ................... 11
ويژگي‌هاي ماتريس معكوس.............................. 12
ویژگیهای ماتریس الحاقی............................. 12
حل دستگاه معادلات خطي............................... 13
تشخيص تعداد جواب‌ها در دستگاه معادلات خطي............ 14
مقادير ويژه و بردار ويژه........................... 16
ماتريس‌هاي متشابه................................... 21
ماتريس‌هاي مثلثي و قطري شدني........................ 22
ماتريس معين مثبت و معين منفي....................... 23
ماتريس‌هاي متعامد................................... 25
درسنامه3: رتبهي ماتريس................................ 26
استقلال و وابستگي خطي............................... 26
رتبه ماتريس........................................ 27
درسنامه4: بردارها در فضاي سه بعدي....................... 32
دستگاه مختصات قائم................................. 32
بردار.............................................. 32
حاصلضرب داخلي دو بردار............................. 34
حاصلضرب خارجي دو بردار............................. 35
ضرب مختلط سه بردار................................. 37
ضرب برداري سه بردار (حاصلضرب سه‌گانه)............... 39
رتبهي يك تبديل خطي................................. 41
درسنامه5: خط و صفحه در فضا............................. 42
معادله خط.......................................... 42
معادله صفحه........................................ 47
فصل مشترك دو صفحه.................................. 52
فصل دوم : رويه‌ها، خم‌ها و توابع برداري
درسنامه1: انواع رويه‌ها در فضاي سه بعدي............... 55
تعريف رويه...................................... 55
درسنامه2: منحني‌هاي پارامتري و تعريف توابع برداري....... 65
منحني‌هاي پارامتري............................... 65
تبديل منحني‌هاي دكارتي به پارامتري............... 66
توابع برداري.................................... 67
بردارهاي سرعت و شتاب............................ 68
طول قوس منحني‌هاي پارامتري....................... 70
استفاده از پارامتر طول قوس...................... 71
كنج فِرِنه (TNB).................................. 72
بردار يكه‌ي مماس............................... 73
بردار يكه‌ي قائم.............................. 74
بردار يكه‌ي قائم دوم.......................... 74
صفحه‌ي مماس بر منحني (صفحه‌ي بوسان)............... 76
صفحه‌ي قائم بر منحني (صفحه‌ي نرمال)............... 77
صفحه‌ي اصلاحي (صفحه‌ي راست‌گرد)..................... 78
خط مماس بر منحني پارامتري....................... 78
درسنامه3: انحناء و تاب............................. 80
انحناء يا خميدگي منحني C........................ 80
دايره‌ي بوسان و شعاع انحناء...................... 90
تاب (پيچش) منحني .............................. 93
حركت در مختصات قطبي............................. 96
فصل سوم: توابع چند متغيره
درسنامه1: دامنه، برد، حد و پيوستگي توابع چند متغيره..... 97
تعريف توابع چند متغيره.......................... 97
دامنه و برد توابع چند متغيره.................... 98
حد توابع دو متغيره.............................. 99
پيوستگي توابع دو متغيره........................ 107
درسنامه2: مشتق جزئي توابع چند متغيره................. 109
تعريف مشتق جزئي (نسبي يا پاره‌اي)................ 109
مشتق‌پذيري....................................... 120
ديفرانسيل يك تابع چند متغيره.................... 121
ديفرانسيل مرتبه دوم............................. 121
بسط تيلور توابع چند متغيره...................... 125
مشتق زنجيره‌اي................................... 127
مشتق‌گيري ضمني................................... 137
توابع همگن و قضيه اويلر......................... 139
محاسبه مشتقات جزئي يك دستگاه با استفاده از ژاكوبين 143
درسنامه3: گراديان و مشتق جهتي (سوئي) و کاربردهای دیگر آن... 149
گـراديـان......................................... 149
مشتق سوئي (جهتي).................................. 150
مراحل محاسبه مشتق جهتي يا سوئي.................... 154
چند خاصيت مهم در مورد مشتقات جهتي و بردار گراديان.. 159
صفحه مماس و خط قائم بر يك سطح..................... 164
معادله خط مماس و صفحه قائم بر خم حاصل از «تقاطع» دو رويه 172
رويه‌هاي پارامتري.................................. 177
درسنامه4: كِرل، ديورژانس و لاپلاسين....................... 178
كِرل و ديورژانس.................................... 178
لاپلاسين............................................ 180
اتحادهاي ديفرانسيل برداري......................... 180
درسنامه5: نقاط بحراني توابع چند متغيره.................. 186
روش پيدا كردن نقاط بحراني تابع.............. 186
نقاط بحراني توابع سه متغيره....................... 194
به‌دست آوردن ماكزيمم و مينيمم توابع مقيد با استفاده از روش ضرايب لاگرانژ............................................ 195
خط كمترين مربعات.................................. 213
فصل چهارم: انتگرال‌هاي چندگانه
درسنامه1: محاسبه‌ي انتگرال‌هاي دوگانه.................... 214
انتگرال نسبت به يك متغير.......................... 214
انتگرال از انتگرال................................ 214
ناحيه انتگرالگيري ................................ 217
نوشتن حدود در انتگرال دوگانه...................... 218
منظم بودن يك ناحيه در راستاي محورها............... 221
تعويض ترتيب انتگرالگيري........................... 224
كاربرد قضيه‌ي فوبيني............................... 224
تعويض ترتيب انتگرالگيري چه زماني الزامي است؟....... 229
ويژگي‌هاي انتگرال دوگانه........................... 242
انتگرال دوگانه از توابع چند ضابطه‌اي............... 242
استفاده از خاصيت زوج يا فرد بودن تابع زیر انتگرال در انتگرال‌هاي دوگانه............................................ 245
استفاده از تقارن متغيرها نسبت به يكديگر در حل انتگرال‌هاي دوگانه.................................................. 248
درسنامه2: تغيير متغير در انتگرال دوگانه.................. 251
ژاكوبين........................................... 253
ملاحظه‌ای مهم در استفاده از تبدیل ژاكوبين............ 263
تغيير متغير قطبي.................................. 266
تغيير متغير بيضوي................................. 280
همگرايي يا واگرايي انتگرال دوگانه................. 283
ماكزيمم يا مينيمم كردن انتگرال دوگانه............. 284
درسنامه3: كاربردهاي انتگرال دوگانه................... 285
محاسبه مساحت يك ناحيه.......................... 285
محاسبه‌ي مساحت در دستگاه مختصات قطبي............ 288
محاسبه‌ي حجم زير رويه‌ي................... 290
مقدار متوسط تابع f ............................ 294
محاسبه‌ي جرم.................................... 295
گشتاور جرم، مركز جرم و گشتاور ماند............. 297
محاسبه‌ي انتگرال يگانه به كمك انتگرال دوگانه..... 299
مجموع ريمان و انتگرال‌هاي دوگانه................ 301
درسنامه4: انتگرال‌هاي سه‌گانه........................ 303
ترتيب متغيرها در انتگرال سه‌گانه................ 303
تعيين حدود انتگرال سه‌گانه...................... 304
ويژگي‌هاي انتگرال سه‌گانه........................ 310
استفاده از خاصيت زوج يا فرد بودن تابع تحت انتگرال در انتگرال‌هاي سه‌گانه.............................. 311
استفاده از تقارن متغيرها در انتگرال‌هاي سه‌گانه... 312
درسنامه5: تغيير متغير در انتگرال‌هاي سه‌گانه............ 315
دستگاه مختصات استوانه‌اي........................ 318
تعيين حدود انتگرال‌ها در دستگاه استوانه‌اي....... 318
انتگرال سه‌گانه در مختصات كروي.................. 322
يافتن حدود انتگرال‌ها در دستگاه مختصات كروي..... 324
همگرايي يا واگرايي انتگرال سه‌گانه.............. 334
ماكزيمم يا مينيمم كردن انتگرال سه‌گانه.......... 334
درسنامه6: كاربردهاي انتگرال سه‌گانه................... 335
محاسبه‌ي حجم ناحيه‌ي D .......................... 335
محاسبه‌ي جرم و گشتاورهاي جرم.................... 359
مقدار متوسط تابع f(x,y,z)......................... 365
مجموع ريمان در انتگرال‌هاي سه‌گانه............... 365
فصل پنجم: انتگرال روي خط يا انتگرال روي منحني
درسنامه1: انتگرال روي خط يا انتگرال روي مسیر........... 366
1ـ انتگرال روي منحني براي توابع عددي........... 366
پارامتري كردن منحني‌ها.......................... 368
روش حل انتگرال روي منحني (يا انتگرال روي خط).... 369
2ـ انتگرال روي منحني براي توابع برداري......... 374
نمايش ديگر انتگرال روي منحني براي توابع برداري (نمايش ديفرانسيلي).................................... 375
درسنامه2: تعاريف ديگر و كاربردهاي انتگرال خط.............. 384
كاربرد انتگرال خط توابع عددي...................... 384
تعاريف ديگر و كاربرد انتگرال منحنيالخط توابع برداري 387
تعريف كار و ارتباط آن با انتگرال منحنيالخط......... 388
تعريف انتگرال‌هاي جريان يا گردش (چرخش)............. 391
شار گذرنده از يك خم واقع در صفحه.................. 392
درسنامه3: ميدان‌هاي پايستار............................ 393
انتگرال خط مستقل از مسير و تعريف ميدان‌هاي پايستار.. 393
تعيين تابع پتانسيل f براي ميدان پايستار........... 395
روش راحت‌تر براي تعيين تابع پتانسيل................ 396
بررسي ميدان‌هايي كه كرل آنها صفر است، اما پايستار نيستند 402
نكاتي در مورد تعداد دفعات و جهت پيموده شدن منحني‌هاي بسته 407
درسنامه4: قضيه گرين.................................. 409
چند تعريف در مورد منحني‌هاي پارامتري و نواحي در صفحه 409
صورت ديگر قضيه گرين (قضيه ديورژانس در صفحه)........ 427
شكل برداري قضيه گرين.............................. 428
تعميم قضيه گرين (در نواحي چندگانه همبند)........... 428
تغيير مسير انتگرالگيري به شكل ساده‌تر.............. 431
فصل ششم: انتگرال روي سطح
درسنامه1: انتگرال روي سطح براي توابع حقيقي و كاربردهاي آن.. 433
روش حل سؤالات انتگرال روي سطح براي توابع عددي....... 434
روشي ديگر براي محاسبه‌ي ......................... 436
كاربرد انتگرال سطح توابع عددي (محاسبه‌ي جرم، مركز جرم، گشتاورهاي اول و دوم سطح S )................................. 453
درسنامه2: انتگرال سطح براي توابع برداري و قضيه ديورژانس..... 455
روش حل انتگرال روي سطح براي توابع برداري........... 455
نمايش‌هاي ديگر انتگرال سطح براي توابع برداري........ 459
قضيه ديورژانس (قضيه واگرايي يا گاوس).............. 459
تشخیص باز یا بسته بودن سطح ..................... 473
بررسی سطوح بستهای که دیورژانس میدان صفر است، ولی گاهی شار عبوری از آنها صفر نیست!................................. 487
درسنامه3: قضيه استوكس................................ 490
نتيجه‌ي قضيه‌ي استوكس............................... 506
.....................................................
سؤالات و پاسخنامه آزمون سراسری 98.................. 511
منابع و مراجع..................................... 538
- دانلود فایل قسمتی از کتاب ریاضی عمومی (2) چاپ نوزدهم و بیستم
- دانلود فایل پاسخنامه آزمون های خودسنجی-چاپ اول و دوم
- دانلود فایل پاسخنامه آزمون های خودسنجی-چاپ سوم تا پنجم
- دانلود فایل پاسخنامه آزمون های خودسنجی-چاپ ششم تا هفدهم
- دانلود فایل پاسخنامه آزمون های خودسنجی-چاپ هجدهم
- دانلود فایل پاسخنامه آزمون های خودسنجی-چاپ نوزدهم و بیستم
- دانلود فایل قسمتی از کتاب ریاضی عمومی (2) چاپ بیست یکم
- دانلود فایل مثالهای اضافی برای تمرین بیشتر -چاپ بیست و یکم
- Ali Safiey
پاسخ تشریحی خودسنجی های ریاضی عمومی 2 چاپ بیستم را می خواستم. چه زمان روی سایت قرار می دهید؟
- A
قبلا سوالم رو پرسیدم ولی منظورم رو نتونستم خوب برسونم
در مثال ۲۰ ص ۳۵۰ ریاضی ۲ چاپ ۱۹
وجود sint در زیر انتگرال (خط دهم ص ۳۵۰) این اجازه رو به ما نمیده که از فرمول صفحه قبلش برای تبدیل انتگرال یگانه به انتگرال دوگانه استفاده کنیم
چطوری شما از فرمول ص قبلش استفاده کردین؟
اون sint کار رو خراب کرده ولی شما بدون توجه به اون sint از فرمول صفحه قبلش استفاده کردین
منظورم اینه که اگه اون sint وجود نداشت میشد از فرمول تبدیل انتگرال یگانه به دوگانه استفاده کرد ولی با وجود sint نمیتونیم از فرمول تبدیل انتگرال یگانه به دوگانه استفاده کنیم
- احساس موسوی
در صفحه ی 640 سوال 12
اگر ترتیب ضرب خارجی رو عوض کنیم، بردار به صورت 3 و منفی5 و 1 میشه. پس کسینوس تتا میشه 3 بر رادیکال35
پس منفی اش میشود منفی3 بر رادیکال35 یعنی گزینه 3
میشه توضیح بدید چطور تشخیص میدیم که کدوم درسته؟؟
خیلی ممنونم
- A
در چاپ نوزدهم ریاضی عمومی ۲ مثال ۲۰ ص ۳۵۰ طبق فرمول صفحه قبلش باید sint رو هم جزو تابع f در نظر بگیرین ولی شما با sint مثل یک ضریب ثابت رفتار کردین. چرا؟
- زهرا
برای حل تست 23 صفحه ۴۴۲(عمران-نقشه برداری 90)
به جز راه حل ارایه شده در پاسخ تشریحی راه حل دیگری وجود دارد؟
چون انتگرالش خیلی پیچیده شده و من نمیفهمم چه جوری انتگرالش رو حساب کردید؟
و اینکه آیا لازمه برا کنکور ام بی ای معادلات بلد بود چون تو یکی از تستا دیدم یه سوال رو با معادلات حل کردید
- مریم دلور
دوست عزیز؛ متاسفانه سوالات شما گاهاً مربوط به عدم تسلط شما به مباحث ریاضی است و اساساً جزو اشکالات و مباحث بسیار پیچیده و غیرقابل درک نیست. پیشنهاد می کنم با شخصی که از نظر مباحث ریاضی در وضعیت بهتری قرار دارد هماهنگ باشید تا در خواندن کتاب سرعتتان بالات برود. بنده می توانم به صورت موردی و آن هم اگر بحث واقعا غیرقابل درک باشد پاسخگوی سوالات شما باشم.
- مریم دلور
- مریم دلور
- مریم دلور
- مریم دلور
- مریم دلور
- مریم دلور
- mohammad
به یک تناقض موقع حل کردن انتگرال های دوگانه ای رسیدم که حدود انتگرال به صورت xy (بین دو عدد معلوم ) و X^2-Y^2 (بین دو عدد معلوم ) داده میشن و از ما مثلا انتگرال دوگانه X^2 + y^2 یا مثلا گشتاور ماند حول مبدا رو میخواد . بعد از تغییر متغیر با ژاکوبیان ، چون حدود داده شده نسبت به مبدا زوج هستند ، ما مقدار انتگرال رو در دو ضرب میکنیم ، ولی توی تست های کنکور خلاف اینو دیدم ، یعنی در عین حالی که انتگرال همین انتگرال بوده ولی در دو ضرب نشده
تست های کنکوری مثل عمران 81 و همینطورعمران-نقشه برداری 90
که به عبارتی سوالای 8 و 37 تستهای درسنامه 2 فصل 4ریاضی 2 چاپ 19 ام هستش
البته سوال 6 ازمون 2 (سطح B ) همین فصل هم دوباره همچین انتگرالی مطرح شده که در دو ضرب نشده مقدار نهایی .
سوالم اینه چطور گاهی ناحیه رو دوبرابر میکنه چون با تبدیل x , y به x, -y-
ناحیه عوض نمیشه ، گاهی هم روی همون ناحیه دو برابر نمیکنه انتگرال رو
ببخشید طولانی شد . ممنون
- mohammad
توی دوتا سوال مشابه هم ( سوال 11و 15 صفحه 577 چاپ 19 ) توی کتاب ریاضی دو در درسنامه اخر که مربوط به قضیه استوکس هستش ، برای صفحه x+y+z وقتی اندازه بردار عمود بر سطح رو میخواهیم پیدا کنیم یک بار بردار گرادیان رو بر یکه کرده ( بر رادیکال 3 تقسیم کرده ) ، یک بار نه ، همون بردار (1،1،1،) رو استفاده کرده
تفاوتش چیه ؟!
ممنون
curlF.nمحاسبه شده شود، مستقیما این مقدار به راحتی محاسبه شده است و در انتگرال پایانی، انتگرال دوگانه روی المانd در واقع انتگرال روی سطح محصور توسط خم حاصل از تقاطع صفحه و کره است.ولی در مثال 15 وقتی curlF را محاسبه می کنیم، می بینیم در صورتی که آن را درون دایره ای به شعاع 1 محاسبه می کنیم ماکزیمم خواهد شد پس رویه C در واقع حاصل تقاطع استوانه x^2 y^2=1 با صفحه x y z=1 است و به راحتی مشخص است که تصویر این ناحیه بر صفحه xoy دایره به شعاع 1 خواهد بود.ضمنا در نظر داشته باشید که در انتگرال دو گانه که d المان سطح محصور توسط خم حاصل از تقاطع صفحه و استوانه (یک بیضی مایل )است ولی dA المان سطح تصویر این ناحیه بر صفحه XOY است.به همین خاطر دیگر بردار n به صورت جدا محاسبه نشده،بلکه مستقیم طرف دوم تساوی محاسبه شده است.موفق باشید
- حمید
استاد نامی آیا اینی که در مورد فصل پنج میگم درسته؟
اگر F کنسرواتیو و ناحیه بسته باشه جواب میشه صفر. (بجز اون استثنا که گفتین توی کتاب)
اگر کنسرواتیو و باز باشه میشه نقطه انتهایی f منهای ابتدا
اگر غیر کنسرواتیو و بسته باشه از گرین استفاده میکنیم.
درست گفتم؟! آخه یکم قاطی میکنم خواستم مطمعن شم این نتیجه گیری درسته یا نه. مرسی
- احساس موسوی
ریاضی 2 چاپ 19 (جدید) صفحه 259 تست 59
اگر یکی از x و y را 2 و دیگری را منفی 2 قرار دهیم حاصل میشود منفی 4. که بین گزینه ها نیست. ولی به هر حال در تابع صدق میکند و کمتر از همه ی گزینه هاست. مشکل کجاست؟! ممنون از راهنمایی تون
- مهدی اناری
اما باتوجه ب حل سوال و اینکه صفحات رو تعریف کردیم و بافرمول مخصوص خودش حل کردیم جواب شد 3.این تناقض از کجا سرچشمه میگیره؟؟مرسی
- زهرا
شما از اینکه معادله اویلر برای یک نقطه p برقرار است نتیجه گرفتید تابع همگن است
مگه برای اینکه عکس قضیه اویلر برقرار باشد نباید معادله به ازای تمام نقاط x و y برقرار باشد؟
- زهرا
بر طبق صفحه ۱۷۳ باید ژاکوبین محاسبه شود
- payam
نه تنها دترمینان 3در 3 صفر میشود، دترمینان تمام ماتریس های 2 در 2 هم صفر می شود. پس رتبه باید 1 باشد. این طور نیست؟
- امیر
در صفحه515 کتاب ریاضی2 در مثال1 ضرب برداری گرادیان g در k به چه صورتی انجام شده است؟
- غزل عسکری
- زهرا
- reza bagheri
در مثال ۳۷ صفحه ۵۵۰ ریاضی ۲ ، برای محاسبه I2 با توجه به توضیح جواب باید از قضیه دیورژانس استفاده میکرد در حالی که برای حل فقط مؤلفه Z را در نظر گرفته است
اگر امکانش باشد لطفا روش محاسبه قسمت دوم یا I2 را توضیح دهید
با سپاس فرآوان
- مهدی اناری
درمورد نثال 18 و 19 صفحه580 در مورد انتخاب میدان برداریFبه صورت fضربدر گرادیانg ایا این انتخاب به صورت دلخواه بوده یااینکه قراردادی هست و اگر دلخواه بوده مبنای این انتخاب چی بوده.باسپاس
f♡g
- مهدی اناری
- مهدی اناری
درواقع طبق فرمول ما برای بدست اوردن بردارnداریم:گرادیان gتقسیم بر اندازه گرادیانgدر p
که در این مثال این تقسیم انجام نشده و عملا حس میکنم جسارتا 1 اشتباه صورت گرفته در حل.درواقع بهتره بگم در مثال 11 صفحه قبل از همین مثال ما تابع سطح مشابه داریم ک بدست اوردنnمتفاوت حل شده
curlF.nمحاسبه شده شود، مستقیما این مقدار به راحتی محاسبه شده است و در انتگرال پایانی، انتگرال دوگانه روی المانd در واقع انتگرال روی سطح محصور توسط خم حاصل از تقاطع صفحه و کره است.ولی در مثال 15 وقتی curlF را محاسبه می کنیم، می بینیم در صورتی که آن را درون دایره ای به شعاع 1 محاسبه می کنیم ماکزیمم خواهد شد پس رویه C در واقع حاصل تقاطع استوانه x^2 y^2=1 با صفحه x y z=1 است و به راحتی مشخص است که تصویر این ناحیه بر صفحه xoy دایره به شعاع 1 خواهد بود.ضمنا در نظر داشته باشید که در انتگرال دو گانه که d المان سطح محصور توسط خم حاصل از تقاطع صفحه و استوانه (یک بیضی مایل )است ولی dA المان سطح تصویر این ناحیه بر صفحه XOY است.به همین خاطر دیگر بردار n به صورت جدا محاسبه نشده،بلکه مستقیم طرف دوم تساوی محاسبه شده است.
- مهدی اناری
- مهدی اناری
مهندس جان 1کلید واژه بدید که چطور از گس مباحث انتگرال های چند گانه و کلا3فصل اخر ریاضی2 بر بیاییم واقعا سردر گم کننده است
ممنونم
- مهدی اناری
مهندس 3تاسوال
اول اینکه خداوکیلی نفهمیدم توی مثال35 صفحه550 چه اتفاقی افتاده اصن معلوم نیس
2.از کجا بفمیم که کی سطح رو باید تقسیم کنیم و1قسمتش رو حساب کنیم و بعد مثلا چند برابر کنیم
3از کجا بفهمیم که کی سطح ما بسته است و کی نیس.
ممنون
- حانیه
در کتاب ریاضی2 چاپ 18پاییز94 در فصل 1 در صفحه24تست 18 دو ماتریس داریم .در این دو ماتریس هردو یک ویژه مقدار دارند و ویژه مقادیر متمایز نیستند.با توجه به نکته کتاب که اگر ویژه مقادیر حقیقی و متمایز باشند ماتریس قطری شدنی است چرا ماتریسAقطری شدنی است؟
- payam
در این مثال اگر بخواهیم رتبه ی ماتریس را با روش دترمینان پیدا کنیم به عدد 1 می رسیم در حالیکه طبق حل کتاب رتبه ی ماتریس 2 می باشد.
این تناقض رو چه طور حل کنم؟
- زهرا
بر بردار نرمال صفحه عمود است چرا باید عمود باشد؟
می دانیم که خط مد نظر موازی با صفحه است، پس بردار نرمال صفحه عمود بر خط است.
- مهشید زارعیان
مهندس من برای سوال 134 رشته ریاضی اعتراض کردم ولی حواسم نبود که جواب درست را پیوست کنم.آیا ترتیب اثر قرار میدن واسه همه اگه بفهمن سوال فاقد گزینه صحیحه؟
سعی کنید پاسخ تشریحی را هم بفرستید چون در غیر این صورت زیر بار نمی روند. هر چند خیلی ها اعتراض کرده اند و این سوال به احتمال قوی حذف خواهد شد.
- مریم دلور
در مثال 26 نیز ناحیه را با خطوط y-x=c تقسیم بندی کرده است.در ناحیهD1 از بالای ناحیه به پایین بیایید روی خط Y-X=0 و در ناحیه D2 ،از بالا به پایین به خط Y-X=1 می رسید
- مریم دلور
- مریم دلور
- مریم دلور
- مریم دلور
- Sanaz.sei
از کجا میتونم پاسخ تشریحی خودآزمایی های ریاضی عمومی ۱ و ۲ رو تهیه کنم؟
با تشکر
پایدار باشید.
- مهدی
- نیما صیرفی نژاد
با تشکر
- نیما صیرفی نژاد
ممنون
- احمد
چند تا سوال داشتم ممنون میشم جواب بدین .
1- در فصل مشترک دو رویه . از کجا باید بدونیم که کدوم ترتیب ضرب خارجی رو برای گرادیان ها انجام بدیم ؟؟
2- چه زمانی از قضیه پاپوس باید استفاده کنیم ؟
3- من یه کم توی مرکز ثقل گیچ شدم . چچوری بفهمیم که از انتگرال دو کانه باید بریم؟ یا سه گانه ؟یا انگرال روی منحنی؟ یا انگرال های مربوط بخش ثقل در ریاضی یک ؟
- نیما صیرفی نژاد
سوال ۷ در صفحه ۸۲ چرا گزینه ۳ درست نیست؟؟
خوب میتونیم بگیم دوران حول محور y داشته یعنی قبلا به صورت
x^2-2y^2=y بوده که حول yدوران کرده!
- احمد
استاد مگه معادله انتگرال نسبت به x یا y فرد نیست؟ ناحیه هم که نسبت به هر دو زوجه. چرا صفر نشد!؟
- فربد
بازه ناحیه انتگرال گیری 0 تا پی هستش، تو راه حلم نوشته 0 تا پی ولی چرا در کران های انتگرال 0 تا 2پی نوشته شده؟
یه سول دیگه مثال 29، صفحه 400
چون 3 تا جمله به توان 2 رسیده که حاصل مثیت میشه و به توان 3 رسیدن و حاصل مثبت هستش متوجه میشیم که ضرب 3 متغیر مثبت هستش،
حالا وقتی در 1/8 اول محاسبات رو انجام میدیم دو متغیر همزمان باید قرینه بشن یعنی xبه -x و y به -y به طور همزمان تا معادله تغییر نکنه و ما 3 حالت رو میتونیم انجام بدیم،( xبا x، zبا y ، y با z) چون 3 حالت شد جواب نباید به جای 4 در 6 ضرب بشه؟؟؟
- مهدی
استاد در مثال ۲۰ صفحه ۳۵۰ ، چرا بعد از تغییر متغییر اول انتگرال بدست آمده رو به انتگرال دوگانه تبدیل نکردید و t رو قرینه کردید؟ با شکل اولیه قابل حل نیست؟
- فربد
مرسی استاد از راهنمایی هاتون
من تو قسمت استفاده از تقارن ها برای حل انتگرال های دو گانه یه ذره گیج شدم، به جز اون که اگر ناحیه نسبت به یه متغیر زوج و تابع تحت انتگرال نسبت به همون متغیر فبرد باشه حاصل صفر میشه.
در چه مواردی باید به جز ناحیه انتگرال گیری به تابع تحت انتگرال برای استفاده از تقارن توجه کنم؟؟؟
مثلا مثال 35، صفحه 296(ریاضی 2) ایا توجه به تقارن تابع تحت انتگرال لازم هستش؟؟؟ یا میشه گفت ناحیه انتگرال گیری نسبت به محور x ها متقارن پس نیمی از محور x را محاسبه و حاصل در 2 ضرب بشه، نسبت به محور y ها متقارن هستش پس در ربع اول حساب بشه و حاصل در 4 ضرب بشه
در مورد تقارن ها : وقتی تقارن ناحیه نسبت به مثبت و منفی X یا مثبت و منفی Y یا مثبت ومنفی Z را بررسی می کنیم،تابع زیر انتگرال هم باید نسبت به همان متغیر بررسی شود که فرد باشد(یا زوج باشد).اگر فرد باشد که حاصل صفر است و اگر زوج باشد می توان نصف ناحیه را گرفت و 2 برابر کرد.در مورد مثال 35 در صفحه 296 هم درست فکر می کنید.
- علی
درمثال 30 صفحه 493 مگه طبق قضیه گرین نباید مقدار انتگرال 0 بشه (با توجه به اینکه مسیر بسته است و مقدار رند p , q برابر شده)؟
با تشکر.
- حانیه
- حمید
استاد من در تعیین حدود انتگرال های دوگانه به روش قطبی ضعف دارم و در تعداد زیادی از سولات این اشتباه را دارم،هم در تعیین شعا و هم در تعیین زاویه!شعاع همیشه از صفر بزرگ تر است؟از صفر تا عددی مشخص میشود!؟یا ممکن است بطور مثال از 2- تا 2+ هم باشد!
در تعیین زاویه هم همین مشکل را دارم...
برای رفع ضعفم چه کاری انجام بدهم!
- حمیدرضا هادیان
چاپ هجدهم، فصل ششم، صفحه 539، مثال 5:
استاد چگونه u^2+v^2=1 را در انتگرال جایگذاری کردید درحالیکه میخواهیم روی r انتگرال بگیریم؟ مگر آنجه معادله داده شده مرز ناحیه نیست؟
x=u^2+v^2 و y=u^2-v^2 و z=u^2v^2
که u , v پرامتر هستند و1 =u^2+ v^2 و v بزرگتر و مساوی صفر است (اين شرايط هم در سراسر s سطح برقرارند).
پس در سرتاسر سطح s ؛ تساوي 1 =u^2+ v^2 برقرار است. احتمالاً تصور شما مانند حالتي است كه مثلاً 1 =u^2+ v^2 يك دايره است و ما مي‌خواهيم درون اين دايره انتگرال بگيريم (تصور درستي نيست). اما اين مثال اين‌طور نيست. u وv شكل خاصي ايجاد نمي‌كنند. فقط دو تا پارامتر هستند كه هميشه شرايط 1 =u^2+ v^2 و u بزرگتر و مساوی صفر ، v بزرگتر و مساوی صفر را دارند و با جايگذاري آنها در معادله‌ي ( r(u,v همه‌ي نقاط سطح s به دست مي‌آيند.موفق باشید
- فربد
گفته شده s طرف بیرونی سطح کره هستش، بعد ما از داخل کره انتگرال گرفتیم، میشه یه توضیح بدین لطفا
فقط دقت كنيد كه يك سطح (پوسته) است و حجم ندارد. منظور از پوسته‌ي خارجي اين نيست كه به ناحيه‌ي بيرونيِ كره فكر كنيد، سطحِ كره است. قضيه ديورژانس انتگرال روي سطح را به انتگرال روي حجمِ ناحيه‌ي داخلي تبديل مي‌كند.
البته كتاب بسيار كامل و دقيق مطالب را توضيح داده و اگر دقيق بخوانيد، نبايد سؤالات فوق برايتان پيش بيايد.
- فربد
- فربد
اما به اختصار مي‌توان چند مورد را بیان کرد ،که برایتان ایمیل شد.
پاسخ سوالات دیگرتان نیز چون نیاز به توضیح با شکل داشت در همان ایمیل می باشد.
- فربد
صفحه 530، مثال 35
در حل که گفته شده حاصل انتگرال باید در عدد 2 ضرب بشه......
یه سوال که برام پیش اومد، من خودم نتونستم تشخیص بدم باید جواب رو در 2 ضرب کرد، این رو باید از سوال میفهمیدم یا باید بر اثر زدن تست و تجربه به دست بیاد؟
دوم اینکه وقتی در سوال نصف شکل رو داریم حساب می کنیم بازه هم نباید نصف بشه؟؟!! چرا در حا بازه x، همان منفی a تا مثبت a در نظر گرفته شده؟؟
صفحه‌ي تصوير xoy هست. حالا اگر از معادله‌ي سطح مورد نظر بتوانيم تابع صريح f=(x,z را به دست بياوريم، نيازي به دو برابر كردن جواب نداريم. اما اگرf=+-(x,z به‌دست آمد، جواب 2 برابر مي‌شود.
در اين مثال، از معادله‌يx^2+y^2=a^2 داريم y برابر است با مثبت و منفی رادیکال a^2-x^2 ؛ پس نياز به 2 برابر كردن جواب داريم.
( حالا اگر صفحه‌ي تصوير مثلاً باشد، بايد همين بحث را در مورد تابع تكرار كنيم).
- علی
استاد عزیز،
در صفحه 45 کتاب ریاضی عمومی 2 آیا عبارت
A x B) x C=(A.C)B-(B.C)B)
درسته؟
چون در صفحه بعدمثال17 از همین فرمول استفاده فرمودید و بجای آخرین B سمت راست، بردار A رو قرار داده اید.
با تشکر.
با تشکر
- فربد
مثال 17، صفحه 451، چرا a به توان 3 تقسیم بر 3 رو جدا کردین؟
مثال 18، صفحه 452، چجور الفا بین 0 و 2پی میشه؟
ممنون از راهنماییتون استاد
2-طبق صورت سوال می خواهیم جواب مستقل از b باشد پس قسمت هایی که به b ربطی ندارد و فقط برحسب a است را می خواهیم جدا کنیم.کسر ac/b 2 به b بستگی دارد.کسر(a^3b/3(b 2 را با تقسیم صورت و مخرج بر یکدیگر اینطور می نویسیم:
a^3/3*b/b 2=a^3/3*(b 2)-2/b 2
در نتیجه( a^3/3-2a^3/3(b 2 حالا قسمت هایی که به b وابسته هستند می خواهیم حذف شوند.
3-تقاطع کره و صفحه یک دایره است.پس منحنی c باید بسته باشد.حالا به مولفه ی x=2cosα دقت کنید.اگر منحنی بسته باشد باید α بتواند یک دور کامل را نشان بدهد.پس α بزرگتر مساوی صفر و کوچکتر مساوی 2Π.
- حمید
جناب آقای مهندس سوال 34 از فصل سوم،صفحه 120(چاپ هفدهم) چگونه ناحیه انتگرال گیری را از 0 تا دوپی تعریف کرده اید!اگر دو معادله r را با هم برابر قرار دهیم(جایگذرای کنیم) زاویه را از 0 تا پی میدهد!
با تشکر
- فربد
منظور از تقارن مسیر که همان تعویض جای x,y,z هستش و تغییر نکردن معادله مسیر درسته؟؟ حالا تقارن میدان برداری منظور چیه؟
من چیزی که فهمیدم ما اگر تابع تحت انتگرال نسبت متغیری فرد و معادله مسیر یا منحنی نسبت به اون متغیر زوج باشه، حاصل انتگرال صفر میشه، و اگر با تبدیل x,y,z به هم و عوض نشدن معادله مسیر، می توان با تعویض متغیرهای زیر انتگرال به هم، انتگرال جدید را با انتگرال قبلی مساوی در نظر گرفت.
F= ( y^2-z^2،z^2-x^2،x^2-y^2 است .در اینجا منظورمان این است :معادلهC1 در صفحه xoy به صورت : x^2 y^2=1 بود.
در این صفحه z=0 است و داریمc f.dr=∫cy^2dx-x^2dy=-4/3∫ حالا روی مسیرc2 همین انتگرال به دست می آید.فقط متغیرهای x,y به متغیرهای z,y تبدیل شده اند.روی c3 هم همین انتگرال ایجاد می شود فقط به جای x , y متغیرهای x,zرا داریم.این به خاطر آن است که مولفه های میدانF ضابطه یکسانی دارند:F= ( y^2-z^2،z^2-x^2،x^2-y^2
- فربد
استاد صفحه 361، مثال 8، به نظرم اشتباه ترتیب انتگرال گیری عوض کرده، چون با رسم شکل، در جهت محور xها شکل نامنظم هستش و باید به دو انتگراب تبدیل بشه، اما در پاسخ به یک انتگرال شکسته شده
- بانی امین نژاد
- حمیدرضا هادیان
ریاضی 2، چاپ هجدهم، صفحه 431، مثال 7:
استاد دقیقا دو خط بالاتر از مثال گفته بودید انتگرال روی هر تکه خط یا منحنی رو در جهتی محاسبه میکنیم که مثلت باشه... بعد چرا توی این مثال انتگرال روی سی2 منفی شد!؟ نباید جهت انتگرال رو عوض کنیم تا مقدارش بجای -1 بشه +1 و بعد با انتگرال روی سی1 جمع کنیم که در اون صورت جواب میشه 8.5؟
- حمیدرضا هادیان
سلام! استاد مگه تو صفحه 61 همین کتاب نگفته بودید که برای بدست آوردن فصل مشترک بایدنرمال دو صفحه رو ضرب خارجی کنیم تا مولفه اصلی خط بدست بیاد؟ و بعد یه نقطه مشترک توش بزاریم؟ اما اینجا کار دیگه ای کردید! میشه روشتونو توضیح بدید؟ بعدشم نتیجه ای که بدست میاد، نقطه انتهای انتگرال گیری تو معادله صدق نمیکنه... مگه نباید صدق کنه؟ (در واقع اصلن نقطه داده شده تو معادله صفحه ها هم صدق نمیکنه!)
- حمیدرضا هادیان
مساله 18 صفحه 295 ویرایش جدید کتاب ریاضی 2:
من این مساله رو یکبار خودم حل کردم و یکبار هم به فرد دیگه ای دادم و حل کرد و حتی یکبار هم با کامپیوتر انتگرال رو عددی محاسبه کردم اما به هرحال جواب انتگرال گزینه 4 شد. توضیحش نیازمند شکل بود به همین دلیل ایمیل زدم. ممنون میشم پاسخ بدید.
- نیما صیرفی نژاد
- حمیدرضا هادیان
مثال 4 فصل 4 چاپ 18 ریاضی 2 صفحه 316:
دامنه ای دقیقا با مشخصات ذکر شده در هر دو ربع اول و سوم موجود است که در متن سوال گفته شده که برای x,y>0 انتگرال گرفته شود. در صورتی که نسبت به x,y انتگرال گرفته شود، میتوان به راحتی ناحیه مثبت را در نظر گرفت، اما پس از تغییر متغیر دو ناحیه تبدیل به یک ناحیه میشود و با محدود کردن u,v نمیتوان دو ناحیه را تمییز داد.چگونه میتوان این مشکل را حل کرد؟
به عنوان مثال اگر f(xy)= (xy)^2 باشد جواب باید نصف پاسخ داده شده گردد.
- نیما صیرفی نژاد
بنده چنتا سوال داشتم!
اول این که در صفحه ۴۶۴ کتاب ریاضی ۲ مثال ۱۴ مگر در تابع در مبدا مخرج صفر نمیشد؟؟ پس ناپیوسته است و در نتیجه پایستار نیست! لطفا تفاوتش رو با صفحه ۴۶۷ نیز ذکر کنید!
و سوال دیگه این که برای سوالات درس نامه های قبلی همین فصل که هنوز راجع به پایستاری نخونده بودیم از الان به بعد باید اول پایستاری رو چک کنیم بعد اگه نبود از راه قبلی بریم؟؟
ممنون
- حمید
استاد نواحی محدب برای حل انتگرال های دوگانه ابتدای فصل کتاب ریاضی 2 را چگونه میتوان بهتر تشخیص داد!چرا نمیتوان آن ها را با حدود عددی حل کرد!
- حمید
آقای مهندس سوال11صفحه114 در کتاب ریاضی عمومی2(چاپ هفدهم)مسئله را با توجه به نکته 3 صفحه قبل حل نموده اید!اما در این نکته گفته اید که تقارن نسبت به محور y ولی در حل مثال تقارن نسبت به محور x در نظر گرفته و حاصل را در 2 ضرب کرده اید!سوال من این است که صرف زوج،بودن عبارت زیر انتگرال،میتوان با توجه به تقارن روی هر کدام از محورها،انتگرال را در 2 ضرب کرد و حل را ادامه داد؟
چرا این مثال به صورت عادی و گذاشتن حدود بصورت عددی اشتباه جواب میدهد؟
- فربد
قسمت f در همسایگی محذوف صفر دارای مشتقات پیوسته باشد......
من این شرط پیوستگی مشتقات جزیی رو گیج شدم چجوری باید چک کنم؟؟
باید از تابع مشتق بگیریم با قواعد مشتق گیری و بعد ببینم تو نقطه مورد نظر پیوسته هست یا نه؟؟؟
یا مثلا همین صفحه 143، قضیه بالای مثال 9، اگر مشتق های جزیی مرتبه دوم f در یک همسایگی نقطه p موجود و پیوسته باشه......
باید مشتق دوم نسبت به x و y رو به طور جداگانه، هر کدوم رو حساب کرد و بعد اگه پیوسته شدن کجاز به تغییر ترتیب در مشتق مختلط هستیم؟؟
در صفحه 144، مثال 11، طبق نکته 3، سوال حل شده، اما چطور فهمیدین عبارت سوال دارای مشتقات جزیی پیوسته هست؟؟ تو سوا نه نقطه ای داده شده نه چیزی؟؟
مرسی از راهنماییتون استاد
- فربد
واسه خودم مثال y=x رو زدم که وقتی بخوایم ازش مشتق بگیریم برابر با 1 میشه، اما از فرمول ضمنی هم اگر x رو به طرف y ببریم، پاسخ درست و برابر با 1 میشه.
الان تو ایم مثالم میشه از مشتق ضمنی استفاده کرد اما راحتتره که از راه معمول بریم یا اصلا نمیشه و ما اشتباه تحلیل کردیم؟؟
- فربد
بعد تو مثال 24، از وجود نداشتن حدود مکرر، نتیجه گرفته شده تابع حد ندارد، الان چی شده من گیج شدم!!!؟؟؟
یه سوال دیگه در سوال 24، جمله اول نوشته شده روی خط x=0 و روی خط y=0 مقدار تابع برابر 1 است، اما مگه در صورتی که مقدار x=0 باشه، از ضابطه دوم تابع مقدار تابع برابر 0 نمیشه،؟؟
چون در حل حد هم وقتی حالت x=0 را در نظر گرفتین از ضابطه دوم استفاده شده که برابر 0 هست.
مرسی از راهنماییتون
- فربد
صفحه 130،مثال 13، گزینه 1، در توضیح گفته شده چون درجه صورت و مخرج یکی است، مگه این قانون برای مواقعی نیست که مخرج فقط ریشه 0 داشته باشه؟؟
الان مخرج گزینه 1 به ازای نقاط روی خط y=-x صفر میشه، پس غیر از نقطه 0 هست، با روش مسیرهای متفاوت به همون جواب وجود ندارد رسیدم ولی برای استفاده از نکته کجا رو اشتباه کردم؟؟
- فربد
استاد در صفحه 130 نکته 2، قسمت 1،
گفته شده اگر هر یک از جملات صورت ، درجه ای بیشتر از تک تک جملات مخرج...
منظور از هر یک از جملات صورت( اگر جمع یا تفریق در صورت باشه) اینه که هر کدام از جمله ها اگر این خاصیت رو داشته باشن، یا هر کدوم از جملات صورت باید به طور جداگانه این خاصیت رو داشته باشن تا نکته درست باشه؟
- behzad
انتگرال رو بررسی نکردین؟؟؟
