ریاضی عمومی 2

مقطع: کارشناسی ارشد
برخی رشته ها
این کتاب با نگارش ساده و اجتناب از بیان مطالب غیرضروری سعی داشته داوطلبان آزمون کارشناسی ارشد در کمترین زمان بدون نیاز به کتب دیگر بهترین نتیجه گیری را داشته باشند.
مشاهده توضیحات کامل
شابک: 9789641110750
تعداد صفحات: 704
نوبت چاپ: 19
تاریخ چاپ: 1395
مولف : مهندس حسین نامی

برای دانلود رایگان کتاب ریاضی عمومی 2 مدرسان شریف (بخشی از کتاب) برروی لینک زیر کلیک نمایید. دانلود قسمتی از کتاب نوع فایل: pdf
حجم فایل: 1MB
تعداد صفحات منتخب:
5 صفحه
قیمت: روی جلد 50,000 تومان خرید از فروشگاه آنلاین(همراه با تخفیف): 45,000 تومان جهت خرید آنلاین اینجا کلیک کنید
مقدمه کتاب
فهرست کتاب
دانلود فایلها و پاسخنامه های تکمیلی
رفع اشکالات درسی
نظرات شما


ممكن است براي گروهي از دانشجويان، درس رياضي عمومي (1) ساده باشد. علت اين موضوع، داشتن پيش زمينه در مباحثي مانند حد، مشتق، انتگرال و ... از دوره دبيرستان و قبل از دانشگاه است. اما يادگيري درس رياضي عمومي (2)، براي تمامي داوطلبان سخت‌تر از درس رياضي عمومي (1) است و دليل آن اين است كه بيشتر مباحث آن براي اولين بار بعد از ورود به دانشگاه مطرح مي‌شود (با صرف‌نظر از مباحثي مانند جبرخطي و هندسه تحليلي). براي همين سعي شده است مطالب اين كتاب از پايه تا پيشرفته و با در نظر گرفتن اين‌‌كه داوطلب هيچ سابقه‌ي مطالعاتي در اين درس ندارد، با توضيحات فراوان فارسي آموزش داده شود و اطمينان دارم كه صرفاً با خواندن و دوره كردن اين كتاب مي‌توانيد تسلط كافي در اين درس را براي هر آزموني پيدا كنيد.
از ويژگي‌هاي بارز اين كتاب كه آن را از ديگر كتاب‌هاي موجود در اين زمينه متمايز مي‌كند، موارد زير را مي‌توان نام برد:


1) نگارش ساده‌ي اين كتاب و استفاده از فارسي‌نويسي در كنار مطالب و فرمول‌هاي رياضي و همچنين اجتناب‌ از اثبات فرمول‌هاي پيچيده رياضي و مطالب غيرضروري باعث مي‌شود خواننده بسيار راحت با كتاب ارتباط برقرار كرده و به اصطلاح با رياضي (2) آشتي كند!


2) هر فصل كتاب به‌صورت ميكروطبقه‌بندي شده تنظيم شده است. به اين مفهوم كه هر فصل به زيربخش‌هايي تحت عنوان «درسنامه» تقسيم‌بندي شده و پس از آموزش با مثال‌هاي تأليفي و توضيحات كامل، در پايان هر درسنامه، سؤالات و پاسخ‌هاي تشريحي آزمون‌هاي گذشته (78 تا 90) كه مربوط به آن درسنامه هستند، گنجانده شده است تا خواننده پس از فراگيري مطالب مربوطه، سؤالات آزمون‌هاي اصلي را نيز مرور كند. اين روش ذهن را بسيار منظم كرده و اشتياق يادگيري را بالاتر مي‌برد.


3) حدود 2400 تست با پاسخ تشريحي در اين كتاب آورده شده كه از اين تعداد، پاسخ تشريحي 1965 سؤال در كتاب و پاسخ تشريحي 435 سؤال در وب‌سايت www.h-nami.ir قرار داده شده است. علت قرار گرفتن پاسخ تشريحي برخي سؤالات در وب‌ سايت، كاهش حجم صفحات و در نتيجه كاهش قيمت كتاب بوده است.


4) كتاب مبتني بر حل مسأله و ارائه تست‌هاي متنوع و جالب جهت ايجاد تبحر در حل سؤال است و بي‌اغراق مي‌توان گفت كمتر سؤالي ممكن است در آزمون‌هاي آينده طرح شود كه عين يا شبيه آن در اين كتاب نباشد! ضمن اين‌كه از حيث تعداد مثال‌هاي متنوع حل شده نيز مي‌توان كتاب را در بين كتب حال حاضر بي‌نظير دانست.


5) در كنار برخي سؤالات مشكل، واژه «سخت» نوشته شده است. اين موضوع براي اين است كه داوطلبان با توجه به وقت و بعضاً اهميت اين درس در رشته‌ي خود، بتوانند اين‌گونه سؤالات را در دور دوم مطالعه‌ي خود بررسي و حل كنند و يا در صورت نداشتن وقت، از خواندن آنها صرف‌نظر كنند.


6) در انتهاي كتاب، سؤالات رياضي عمومي (1) و (2) رشته‌هايي كه بيشترين شركت‌كننده را دارند (عمران، MBA، مكانيك و رياضي) از سال 1391 تا 1394 آورده شده است. لازم به‌ذكر است به‌دليل قرار گرفتن سؤالات رياضي عمومي (1) و (2) در كنار هم، اين بخش مي‌تواند محك خوبي براي داوطلبان در ماه‌هاي پاياني نزديك به آزمون باشد. اصولاً پيشنهاد بنده اين است كه در ماه آخر قبل از آزمون اصلي اين سؤالات و پاسخ‌ها مطالعه شوند و ترجيحاً داوطلبان مانند آزمون اصلي و در همان زمان‌بندي به اين سؤالات پاسخ دهند تا نوعي خودسنجي نيز صورت گرفته باشد. لازم است اشاره كنم سؤالات و پاسخ‌هاي تشريحي آزمون‌هاي كارشناسي ارشد ساير رشته‌ها بر روي وب سايت www.h-nami.ir قرار گرفته است و داوطلبان مي‌توانند در صورت نياز آنها را دانلود (رايگان) كرده و مطالعه كنند.


7) در پايان هر فصل كتاب، 3 آزمون خودسنجي آورده شده است. اين آزمون‌ها براي تمرين بيشتر و همچنين سنجش خواننده از خود،
پس از مطالعه‌ي آن فصل مي‌باشد كه در سه سطح C (سطح سؤالات همانند آزمون اصلي و در برخي موارد كمي هم ساده‌تر)، B (سطح سؤالات كمي بالاتر از آزمون اصلي و در برخي موارد همانند آزمون اصلي) و A (سطح سؤالات بسيار سخت‌تر از آزمون اصلي) دسته‌بندي شده است. پيشنهاد مي‌شود در دور دوم مطالعه‌ي كتاب و پس از تسلط به تمامي مطالب؛ حل مثال‌هاي تأليفي درون هر درسنامه و همچنين مرور و مطالعه تست‌هاي طبقه‌بندي شده سؤالات آزمون‌هاي سال‌ گذشته، به سؤالات سطح C و B پاسخ دهيد و در پايان پاسخ‌هاي خود را با كليد داده شده مقايسه كنيد. در صورت نياز نيز مي‌توانيد پاسخ تشريحي اين آزمون‌ها را از وب سايت ذكر شده در بالا دريافت نماييد. داوطلباني كه به‌طور كامل كتاب را مطالعه كرده‌اند؛ در صورت داشتن زمان كافي، مي‌توانند سؤالات و پاسخ‌هاي آزمون سطح A را نيز بررسي كنند و به هيچ‌وجه هم نگران پاسخ ندادن به سؤالات اين آزمون نباشند، چرا كه سؤالات آزمون سطح A بسيار سخت طراحي شده‌اند (پيشنهاد من اين است كه داوطلبان رشته‌ي MBA در صورت داشتن وقت كافي سؤالات اين آزمون را مرور كنند).


8) مطالب اين كتاب به گونه‌اي تنظيم شده كه مي‌تواند به عنوان مرجع كامل درس «رياضي عمومي (2)» جهت موفقيت در امتحانات پايان ترم دانشگاهي نيز مورد استفاده قرار بگيرد. بسياري از مسائل مهم پايان ترم دانشگاه‌هاي جهان و ايران در اين كتاب ارائه و به آن‌ها پاسخ تشريحي داده شده است.
با توجه به اينكه هيچ تأليفي خالي از اشكال نيست، لذا از همه استادان و دانشجويان تقاضا دارم، اشكالات اين كتاب را از طريق وب سایت شخصی اینجانب به آدرس www.h-nami.ir اطلاع دهند در ضمن در این وب سایت پشتیبانی و رفع اشکال درسی نیز صورت می¬گیرد.


  • فصل اول : هندسه تحلیلی و جبرخطی
    • درسنامه 1: ماتریس و خواص آن
    • درسنامه 2: دترمینان و کاربردهایش
    • درسنامه 3: رتبه ماتریس
    • درسنامه 4: بردارها در فضای سه بعدی
    • درسنامه 5: خط و صفحه در فضا
  • فصل دوم : رویه‌ها، خم‌ها و توابع برداری
    • درسنامه 1: انواع رویه‌ها در فضای سه بعدی
    • درسنامه 2: منحنی‌های پارامتری و تعریف توابع برداری
    • درسنامه 3: انحناء و تاب
  • فصل سوم : توابع چند متغیره
    • درسنامه 1: دامنه، برد، حد و پیوستگی توابع چندمتغیره
    • درسنامه 2: مشتق جزئی توابع چندمتغیره
    • درسنامه 3: مشتق زنجیره‌ای و ضمنی
    • درسنامه 4: گرادیان و مشتق جهتی سوئی
    • درسنامه 5: کاربردهای دیگر گرادیان
    • درسنامه 6: کرل، دیورژانس و لاپلاسین
    • درسنامه 7: نقاط بحرانی توابع چندمتغیره
  • فصل چهارم: انتگرال‌های چندگانه
    • درسنامه 1: محاسبه انتگرال‌های دوگانه
    • درسنامه 2: تغییر متغیر در انتگرال دوگانه
    • درسنامه 3: کاربردهای انتگرال دوگانه
    • درسنامه 4: انتگرال‌های سه ‌گانه
    • درسنامه 5: تغییر متغیر در انتگرال‌های سه گانه
    • درسنامه 6: کاربردهای انتگرال سه گانه
  • فصل پنجم: انتگرال روی خط یا انتگرال روی منحنی
    • درسنامه 1: انتگرال روی خط یا انتگرال روی منحنی
    • درسنامه 2: تعاریف دیگر و کاربرد‌های انتگرال خط
    • درسنامه 3: میدان‌های پایستار
    • درسنامه 4: قضیه گرین
  • فصل ششم: انتگرال روی سطح
    • درسنامه 1: انتگرال روی سطح برای توابع حقیقی و کاربردهای آن
    • درسنامه 2: انتگرال سطح برای توابع برداری و قضیه دیورژانس
    • درسنامه 3: قضیه‌ی استوکس
  • سوالات آزمون سراسری سال 91
  • سوالات آزمون سراسری سال 92
  • سوالات آزمون سراسری سال 93
  • سوالات آزمون سراسری سال 94
  • منابع و مراجع
اشکال در آزمون ریاضی ۹۲
  • نیما صیرفی نژاد
با سلام در سوال ۱۲ آزمون ریاضی ۹۲ صفحه ۶۴۲ ریاضی ۲ اگر جای n1 وn2را در ضرب جا به جا کنیم جوابی که به دست میآید (1,5-,3) میباشد گه کسینوس زاویه با جهت مثبت محور x ها مثبت میشود و کسینوس زاویه در جهت منفی محور x ها منفی! پس گزینه ۳ هم درست است!
با تشکر
سلام،خیر توجه کنید که جوابی که شما به دست می آورید کسینوس زاویه ی بین یک بردار با یک بردار دیگر است،در حالی که خط ها جهت دار نیستند.کسینوس زاویه ی بین دو خط همیشه مثبت است مثلا در صفحه xoy بردارهای i+j و i-j- هر دو بردارهای خط x=y هستند.زاویه بین این بردارها با جهت مثبت محور xها به ترتیب Π/4 و3Π/4 است اما زاویه بین خط y=x و محور xها فقط همان Π/4 است.یعنی در مورد خطوط و صفحات کسینوس زاویه بین آنها همیشه مثبت است ،اگر هم منفی شد قدرمطلق می گیریم.موفق باشید
توابع چند متغیره صفحه ۱۳۱
  • نیما صیرفی نژاد
با سلام در صفحه ۱۳۱ سوال ۱۷ مگه درجه جملات صورت از درجه مخرج بیشتر نیست؟ چرا حد ندارد پس؟ چرا برای بقیه اون توابع چند متغیره که درجه صورت بیشتره این کارا رو نمیکردیم؟
ممنون
سلام،قبل از توجه به درجه ها باید دقت کنید آیا مخرج فقط در (0و0) صفر می شود یا ریشه های دیگری هم دارد.مثلا روی y=-x^2 مخرج صفر می شود(در مثال17).در ضمن برای استفاده از درجه ها باید جملات مخرج همگی هم درجه باشند در واقع مخرج باید همگن باشد به صورت x^2 y^2 یا قدرمطلق x به اضافه قدرمطلق y.موفق باشید
ریاضی 1 2
  • احمد
سلام استاد وقتتون بخیر و خسته نباشید
چند تا سوال داشتم ممنون میشم جواب بدین .
1- در فصل مشترک دو رویه . از کجا باید بدونیم که کدوم ترتیب ضرب خارجی رو برای گرادیان ها انجام بدیم ؟؟
2- چه زمانی از قضیه پاپوس باید استفاده کنیم ؟
3- من یه کم توی مرکز ثقل گیچ شدم . چچوری بفهمیم که از انتگرال دو کانه باید بریم؟ یا سه گانه ؟یا انگرال روی منحنی؟ یا انگرال های مربوط بخش ثقل در ریاضی یک ؟
سلام،ممنون از شما.1- تفاوتی ندارد که کدام ترتیب را بنویسید.2- وقتی که محور دوران ،ناحیه ی مورد نظر را قطع نکرده باشد و ما هم بتوانیم به راحتی مرکز را مشخص کنیم.3-اگرمرکز ثقل یک ناحیه مسطح(دو بعدی) را می خواهید بهتر است از انتگرال دوگانه بروید.اگر مرکز ثقل یک ناحیه 3 بعدی توپر را می خواهید از انتگرال سه گانه بروید.اگر مرکز ثقل یک منحنی را می خواهید ا ز انتگرال یگانه.
رویه
  • نیما صیرفی نژاد
با سلام
سوال ۷ در صفحه ۸۲ چرا گزینه ۳ درست نیست؟؟
خوب میتونیم بگیم دوران حول محور y داشته یعنی قبلا به صورت
x^2-2y^2=y بوده که حول yدوران کرده!
سلام،گزينه ( 3) هم مي تواند درست باشد، البته ممكن است طراح سؤال سازمان سنجش گزينه ( 3) را به اين دليل رد كرده باشد كه به صورت تابع (y=f(x,z نیست .اما در صورت سؤال اسمي از تابع نيامده است!
مثال 36 ص 296. چاپ هجدهم
  • احمد
سلام
استاد مگه معادله انتگرال نسبت به x یا y فرد نیست؟ ناحیه هم که نسبت به هر دو زوجه. چرا صفر نشد!؟
سلام،خیر ناحیه فرد نیست.در معادله ی ناحیه هم x^2 داریم هم x.هم y^2 داریم هم y.
انتگرال چندگانه
  • فربد
مثال 28، صفحه 400
بازه ناحیه انتگرال گیری 0 تا پی هستش، تو راه حلم نوشته 0 تا پی ولی چرا در کران های انتگرال 0 تا 2پی نوشته شده؟

یه سول دیگه مثال 29، صفحه 400
چون 3 تا جمله به توان 2 رسیده که حاصل مثیت میشه و به توان 3 رسیدن و حاصل مثبت هستش متوجه میشیم که ضرب 3 متغیر مثبت هستش،
حالا وقتی در 1/8 اول محاسبات رو انجام میدیم دو متغیر همزمان باید قرینه بشن یعنی xبه -x و y به -y به طور همزمان تا معادله تغییر نکنه و ما 3 حالت رو میتونیم انجام بدیم،( xبا x، zبا y ، y با z) چون 3 حالت شد جواب نباید به جای 4 در 6 ضرب بشه؟؟؟
سلام،در رابطه با سوال اول کرانها 0 تا Π هستش. در رابطه با سوال دوم خیر ، حالت هایی که بیان می کنید با هم اشتراک دارند. هرکدام از ستون های جدول رسم شده در کتاب یک حالت از xyz>0 را نشان می دهند.آیا شما می توانید حالت دیگری اضافه کنید؟(می بینید که حالت دیگری نداریم).
رفع اشکال
  • مهدی
سلام استاد، خسته نباشید.
استاد در مثال ۲۰ صفحه ۳۵۰ ، چرا بعد از تغییر متغییر اول انتگرال بدست آمده رو به انتگرال دوگانه تبدیل نکردید و t رو قرینه کردید؟ با شکل اولیه قابل حل نیست؟
سلام،ممنونم.بدون این تغییر متغیر هم می توانستیم به انتگرال دوگانه تبدیل کنیم.ولی برای آنکه کران انتگرال مثبت باشد و در ادامه ،محاسبات ساده تر شوند این کار را کرده ایم.
تقارن ها
  • فربد
با سلام و خسته نباشید
مرسی استاد از راهنمایی هاتون
من تو قسمت استفاده از تقارن ها برای حل انتگرال های دو گانه یه ذره گیج شدم، به جز اون که اگر ناحیه نسبت به یه متغیر زوج و تابع تحت انتگرال نسبت به همون متغیر فبرد باشه حاصل صفر میشه.
در چه مواردی باید به جز ناحیه انتگرال گیری به تابع تحت انتگرال برای استفاده از تقارن توجه کنم؟؟؟
مثلا مثال 35، صفحه 296(ریاضی 2) ایا توجه به تقارن تابع تحت انتگرال لازم هستش؟؟؟ یا میشه گفت ناحیه انتگرال گیری نسبت به محور x ها متقارن پس نیمی از محور x را محاسبه و حاصل در 2 ضرب بشه، نسبت به محور y ها متقارن هستش پس در ربع اول حساب بشه و حاصل در 4 ضرب بشه
سلام،ممنونم و خواهش می کنم.
در مورد تقارن ها : وقتی تقارن ناحیه نسبت به مثبت و منفی X یا مثبت و منفی Y یا مثبت ومنفی Z را بررسی می کنیم،تابع زیر انتگرال هم باید نسبت به همان متغیر بررسی شود که فرد باشد(یا زوج باشد).اگر فرد باشد که حاصل صفر است و اگر زوج باشد می توان نصف ناحیه را گرفت و 2 برابر کرد.در مورد مثال 35 در صفحه 296 هم درست فکر می کنید.
انتگرال روی خط
  • علی
استاد عزیز سلام
درمثال 30 صفحه 493 مگه طبق قضیه گرین نباید مقدار انتگرال 0 بشه (با توجه به اینکه مسیر بسته است و مقدار رند p , q برابر شده)؟
با تشکر.
سلام،شما مطالب صفحه 467 را حتما با دقت مطالعه کنید.این میدان پایستار نیست و جواب همان Π- است .مطمئنا اگر صفحه ای که به شما گفتم را مطالعه کنید سوالی در این زمینه برایتان باقی نمی ماند.موفق باشید
سوال
  • حانیه
سلام روز بخیر صفحه493مثال30 با وجود اینکه کرل fصفر است از کجا میفهمیم f پایستار نیست؟fشبیه دو معادله ای که گفته بودید کرلشان صفراست اما پایستار نیستند است ولی خود انها نیست چطور باید تشخیص بدیم؟مرسی
سلام،ممنونم.برای متوجه شدن این بخش حتما یکبار مطالب صفحه 467 را با دقت بخوانید.
چگونه خواندن دروس
  • حمید
با سلام
استاد من در تعیین حدود انتگرال های دوگانه به روش قطبی ضعف دارم و در تعداد زیادی از سولات این اشتباه را دارم،هم در تعیین شعا و هم در تعیین زاویه!شعاع همیشه از صفر بزرگ تر است؟از صفر تا عددی مشخص میشود!؟یا ممکن است بطور مثال از 2- تا 2+ هم باشد!
در تعیین زاویه هم همین مشکل را دارم...
برای رفع ضعفم چه کاری انجام بدهم!
سلام،r نمی تواندمنفی باشد .در همه نقاط (1و0)و(0و1-) و (0و-1)و (-1و0 )داریم r=1 و در همه نقاط (0و2)،(0و-2) ،(2و0)،(-2و0) داریم r=2. پس r علامت ندارد و فقط فاصله تا مبدا است.در مورد حدود Ө هم دقت کنید که Ө زاویه با جهت مثبت محور xها است.صفحات 317 تا 320 چاپ 18 ریاضی را با دقت مطالعه کنید.موفق باشید
انتگرال روی سطح
  • حمیدرضا هادیان
با سلام...
چاپ هجدهم، فصل ششم، صفحه 539، مثال 5:

استاد چگونه u^2+v^2=1 را در انتگرال جایگذاری کردید درحالیکه میخواهیم روی r انتگرال بگیریم؟ مگر آنجه معادله داده شده مرز ناحیه نیست؟
سلام.ناحیه انتگرال گیری در این مثال رویه ی s است.در سراسر رويه‌ي s (نه فقط در لبه‌ي آن) داريم:
x=u^2+v^2 و y=u^2-v^2 و z=u^2v^2
که u , v پرامتر هستند و1 =u^2+ v^2 و v بزرگتر و مساوی صفر است (اين شرايط هم در سراسر s سطح برقرارند).
پس در سرتاسر سطح s ؛ تساوي 1 =u^2+ v^2 برقرار است. احتمالاً تصور شما مانند حالتي است كه مثلاً 1 =u^2+ v^2 يك دايره است و ما مي‌خواهيم درون اين دايره انتگرال بگيريم (تصور درستي نيست). اما اين مثال اين‌طور نيست. u وv شكل خاصي ايجاد نمي‌كنند. فقط دو تا پارامتر هستند كه هميشه شرايط 1 =u^2+ v^2 و u بزرگتر و مساوی صفر ، v بزرگتر و مساوی صفر را دارند و با جايگذاري آن‌ها در معادله‌ي ( r(u,v همه‌ي نقاط سطح s به دست مي‌آيند.موفق باشید
انتگرال سطح
  • فربد
مثال 14، صفحه 543
گفته شده s طرف بیرونی سطح کره هستش، بعد ما از داخل کره انتگرال گرفتیم، میشه یه توضیح بدین لطفا
كارِ قضيه‌ي ديورژانس همين است كه انتگرال روي سطح را به انتگرال از ناحيه‌ي درونِ سطح تبديل مي‌كند.
فقط دقت كنيد كه يك سطح (پوسته) است و حجم ندارد. منظور از پوسته‌ي خارجي اين نيست كه به ناحيه‌ي بيرونيِ كره فكر كنيد، سطحِ كره است. قضيه ديورژانس انتگرال روي سطح را به انتگرال روي حجمِ ناحيه‌ي داخلي تبديل مي‌كند.
البته كتاب بسيار كامل و دقيق مطالب را توضيح داده و اگر دقيق بخوانيد، نبايد سؤالات فوق برايتان پيش بيايد.
انتگرال سطح
  • فربد
استاد به جز قضیه دیورژانس و گرین که قبل از استفادشون باید معادلات مرز در عبارت زیر انتگرال جایگذاری بشه، در تمام انتگرالگیری ها میشه اینکار رو انجام داد، منظورم اینه به طور مثال در انتگرالگیری 3 گانه، اگر بعد از محاسبات به تابع زیر انتگرال با یکی از معادلات سوال برابر شد که طرف دومش عدد ثابت بود میشه، اون عدد رو به جاش جایگذاری کرد، یا فقط این قانون برای انتگرال بر روی خم و سطح، به دلیل انتگرال گیری بر روی مرز میشه انجام داد
فقط در انتگرال‌ روي خط و انتگرل سطح اين كار را مي‌شود انجام داد. در انتگرال سه‌گانه، مثلاً ناحيه‌ي انتگرال‌گيري شامل درون كره است اما معادله‌يx^2+y^2+z^2=a^2 فقط روي سطح كره برقرار است، نه در درون كره.
مساحت
  • فربد
استاد من تو فرمولای مساحت گیج شدم، چجوری تشخیص بدم از کدوم کجا استفاده کنم؟؟ یا چجور برای خودم دسته بندیشون کنم؟
اگر سؤالتان را شفاف‌تر بنويسيد، بهتر مي‌توان جواب داد. مثلاً يك يا چند نمونه كه نمي‌توانيد در آن‌ها تشخيص دهيد از چه فرمولي استفاده مي‌شود، بفرستيد تا پاسخ دil.
اما به اختصار مي‌توان چند مورد را بیان کرد ،که برایتان ایمیل شد.
پاسخ سوالات دیگرتان نیز چون نیاز به توضیح با شکل داشت در همان ایمیل می باشد.
انتگرال سطح
  • فربد
ممنون استاد از پاسخ ها
صفحه 530، مثال 35
در حل که گفته شده حاصل انتگرال باید در عدد 2 ضرب بشه......
یه سوال که برام پیش اومد، من خودم نتونستم تشخیص بدم باید جواب رو در 2 ضرب کرد، این رو باید از سوال میفهمیدم یا باید بر اثر زدن تست و تجربه به دست بیاد؟
دوم اینکه وقتی در سوال نصف شکل رو داریم حساب می کنیم بازه هم نباید نصف بشه؟؟!! چرا در حا بازه x، همان منفی a تا مثبت a در نظر گرفته شده؟؟
به اين صورت تشخيص مي‌دهيم 2 برابر كردن لازم است:
صفحه‌ي تصوير xoy هست. حالا اگر از معادله‌ي سطح مورد نظر بتوانيم تابع صريح f=(x,z را به دست بياوريم، نيازي به دو برابر كردن جواب نداريم. اما اگرf=+-(x,z به‌دست آمد، جواب 2 برابر مي‌شود.
در اين مثال، از معادله‌يx^2+y^2=a^2 داريم y برابر است با مثبت و منفی رادیکال a^2-x^2 ؛ پس نياز به 2 برابر كردن جواب داريم.
( حالا اگر صفحه‌ي تصوير مثلاً باشد، بايد همين بحث را در مورد تابع تكرار كنيم).
ضرب برداری 3 بردار
  • علی
سلام
استاد عزیز،
در صفحه 45 کتاب ریاضی عمومی 2 آیا عبارت
A x B) x C=(A.C)B-(B.C)B)
درسته؟
چون در صفحه بعدمثال17 از همین فرمول استفاده فرمودید و بجای آخرین B سمت راست، بردار A رو قرار داده اید.
با تشکر.
با تشکر
سلام ،در رابطه با سوالتان بردار A می باشد.موفق باشید.
انتگرال رو خم
  • فربد
استاد صفحه 448، مثال 7، مرکز جرم رو چطور فهمیدین(0،0p،) قرار داره؟؟؟

مثال 17، صفحه 451، چرا a به توان 3 تقسیم بر 3 رو جدا کردین؟

مثال 18، صفحه 452، چجور الفا بین 0 و 2پی میشه؟

ممنون از راهنماییتون استاد
1-دایره ی x^2 y^2=1 است چون x=cos4t و y=sin4t .تصویر این فنر را می توانید در صفحه 110 شکل سمت راست مشاهده کنید.البته فقط یک دور آن را در نظر بگیرید.چون در ابتدای آن z=0 و در انتهای آن z=2Π است و جرم به صورت مساوی پخش شده پس در مرکز جرم z=Π است.اگر هم نتوانستید شکل را مجسم کنید از راه فرمول مرکز جرم آن را به دست آورید.اگر محاسبه مرکز جرم را برای منحنی c نمی دانید به مثال 6 صفحه 447 که قبل از این مثال آورده ام توجه کنید.
2-طبق صورت سوال می خواهیم جواب مستقل از b باشد پس قسمت هایی که به b ربطی ندارد و فقط برحسب a است را می خواهیم جدا کنیم.کسر ac/b 2 به b بستگی دارد.کسر(a^3b/3(b 2 را با تقسیم صورت و مخرج بر یکدیگر اینطور می نویسیم:
a^3/3*b/b 2=a^3/3*(b 2)-2/b 2
در نتیجه( a^3/3-2a^3/3(b 2 حالا قسمت هایی که به b وابسته هستند می خواهیم حذف شوند.
3-تقاطع کره و صفحه یک دایره است.پس منحنی c باید بسته باشد.حالا به مولفه ی x=2cosα دقت کنید.اگر منحنی بسته باشد باید α بتواند یک دور کامل را نشان بدهد.پس α بزرگتر مساوی صفر و کوچکتر مساوی 2Π.
چگونگی حل سوال
  • حمید
با سلام
جناب آقای مهندس سوال 34 از فصل سوم،صفحه 120(چاپ هفدهم) چگونه ناحیه انتگرال گیری را از 0 تا دوپی تعریف کرده اید!اگر دو معادله r را با هم برابر قرار دهیم(جایگذرای کنیم) زاویه را از 0 تا پی میدهد!
با تشکر
سلام.ابتدا بسیار توصیه می کنم که کتاب چاپ 18 را خریداری کنید چون بسیار با کنابی که در دست دارید متفاوت است.وقتی منحنی را برخورد میدهیم در یک دور کامل Ө=Π به دست می آید.نه Ө=0.در واقع اگر شکل را رسم کنید این دو منحنی از یکدیگر عبور نمی کنند و ناحیه بین آنها یک دور کامل را شامل می شود.اگر کسی بتواند شکل را رسم کند باید به این نکته دقت کند که 2 cosӨ هیچ گاه از 1 کوچکتر نمی شود. پس r=2 cosӨ همیشه بزرگتر از r=1 است در ضمن اگر هم بخواهیم با برخورد آنها حدود Ө را پیدا کنیم cosӨ 2=1 در نتیجهӨ=Π،3Π پس Π و 3Π یک دور کامل است باید انتگرال بگیریم. میدانید که انتگرال Π تا 3Π با انتگرال 0 تا 2Π فرقی ندارد چون cosӨ دوره تناوب 2Π دارد.موفق باشید
انتگرال چندگانه
  • فربد
صفحه 438، مثال 24، قسمت اخر حل که نوشته شده با توجه به تقارن میدان برداری و مسیر.....
منظور از تقارن مسیر که همان تعویض جای x,y,z هستش و تغییر نکردن معادله مسیر درسته؟؟ حالا تقارن میدان برداری منظور چیه؟
من چیزی که فهمیدم ما اگر تابع تحت انتگرال نسبت متغیری فرد و معادله مسیر یا منحنی نسبت به اون متغیر زوج باشه، حاصل انتگرال صفر میشه، و اگر با تبدیل x,y,z به هم و عوض نشدن معادله مسیر، می توان با تعویض متغیرهای زیر انتگرال به هم، انتگرال جدید را با انتگرال قبلی مساوی در نظر گرفت.
درک شما از موضوع درست است.در اینجا از تقارن به صورت خاص استفاده کرده ایم.منظور از تقارن میدان برداری
F= ( y^2-z^2،z^2-x^2،x^2-y^2 است .در اینجا منظورمان این است :معادلهC1 در صفحه xoy به صورت : x^2 y^2=1 بود.
در این صفحه z=0 است و داریمc f.dr=∫cy^2dx-x^2dy=-4/3∫ حالا روی مسیرc2 همین انتگرال به دست می آید.فقط متغیرهای x,y به متغیرهای z,y تبدیل شده اند.روی c3 هم همین انتگرال ایجاد می شود فقط به جای x , y متغیرهای x,zرا داریم.این به خاطر آن است که مولفه های میدانF ضابطه یکسانی دارند:F= ( y^2-z^2،z^2-x^2،x^2-y^2
انتگرال چندگانه
  • فربد
با سلام
استاد صفحه 361، مثال 8، به نظرم اشتباه ترتیب انتگرال گیری عوض کرده، چون با رسم شکل، در جهت محور xها شکل نامنظم هستش و باید به دو انتگراب تبدیل بشه، اما در پاسخ به یک انتگرال شکسته شده
سلام.در صورت سوال انتگرال اول به جای 1 عدد 2 را لحاظ کنید و در پاسخ هم باید x بزرگتر مساوی صفر و کوچکتر مساوی 2 باشد. شکل مورد نظر را برایتان در ایمیلتان شرح داده ام.موفق باشید
محاسبه حجم
  • بانی امین نژاد
در درسنامه 6 مبحث انتگرال گیری 3 گانه مثال 18 به نظر می رسد حجم بین کره و هذلولی گون اشتباه محاسبه شده است. در برخورد این دو رویه دو ناحیه با حجم های متفاوت به دست می آید و انتگرالی که نوشته شده است هیچ کدام از این دو را محاسبه نمی کند. کران پایین زد به نظر من اشتباه نوشته شده بود. مدت زیادی هم آن را بررسی کردم ولی به نتیجه ای نرسیدم! ممنون از توجهتان
ابتدا به صورت سوال خوب توجه کنید که حجم بین هذلولی گون و کره موردنظر سوال نیست ،در واقع حجم داخل هذلولی گون که درون کره می باشد با صورت سوال فعلی مدنظر است.البته در صورت سوال در نظر بگیرید که باید جمله خارج از استوانه X^2+Y^2=1 نیز اضافه گردد.در واقع حجمی که درون هذلولی گون قرار دارد و خارج استوانه.موفق باشید
انتگرال روی خط
  • حمیدرضا هادیان
با سلام
ریاضی 2، چاپ هجدهم، صفحه 431، مثال 7:

استاد دقیقا دو خط بالاتر از مثال گفته بودید انتگرال روی هر تکه خط یا منحنی رو در جهتی محاسبه میکنیم که مثلت باشه... بعد چرا توی این مثال انتگرال روی سی2 منفی شد!؟ نباید جهت انتگرال رو عوض کنیم تا مقدارش بجای -1 بشه +1 و بعد با انتگرال روی سی1 جمع کنیم که در اون صورت جواب میشه 8.5؟
سلام.در این جا باید همانند تذکر بالای صفحه -1 به +1 تبدیل شود و جواب گزینه 4 است.
بدست آوردن فصل مشترک دو صفحه
  • حمیدرضا هادیان
ریاضی 2، چاپ هجدهم، صفحه 430، مثال 4:
سلام! استاد مگه تو صفحه 61 همین کتاب نگفته بودید که برای بدست آوردن فصل مشترک بایدنرمال دو صفحه رو ضرب خارجی کنیم تا مولفه اصلی خط بدست بیاد؟ و بعد یه نقطه مشترک توش بزاریم؟ اما اینجا کار دیگه ای کردید! میشه روشتونو توضیح بدید؟ بعدشم نتیجه ای که بدست میاد، نقطه انتهای انتگرال گیری تو معادله صدق نمیکنه... مگه نباید صدق کنه؟ (در واقع اصلن نقطه داده شده تو معادله صفحه ها هم صدق نمیکنه!)
سلام در این مثال همانند بند 10 همین صفحه می توان از تلاقی دو منحنی به فصل مشترک رسید ما دنبال بردار هادی خط نیستیم. همانند آنچه در صفحه 60 گفته ایم.اما نقطه به صورت( -2 و1و3) است.در واقع -1 به -2 تبدیل می شود.که در این صورت نقطه در فصل مشترک صدق خواهد کرد و در حل و جواب تاثیری ندارد.موفق باشید
انتگرال سه گانه
  • حمیدرضا هادیان
با سلام...
مساله 18 صفحه 295 ویرایش جدید کتاب ریاضی 2:
من این مساله رو یکبار خودم حل کردم و یکبار هم به فرد دیگه ای دادم و حل کرد و حتی یکبار هم با کامپیوتر انتگرال رو عددی محاسبه کردم اما به هرحال جواب انتگرال گزینه 4 شد. توضیحش نیازمند شکل بود به همین دلیل ایمیل زدم. ممنون میشم پاسخ بدید.
سلام.مرجع اصلی تست در صورت سوال خارج از استوانه x^2+y^2=1 نیز دارد و سوال با این استناد حل شده است و گزینه 4 صحیح است.موفق باشید.
اشکال
  • نیما صیرفی نژاد
در صفحه ۴۹۳ مثال ۳۰ چرا طبق قضیه گرین انتگرال صفر نمیشود؟؟
این مثال شرایط استفاده از قضیه گرین را ندارد،همانطور که در صفحه 464 خط نهم قید کرده ام.به صفر شدن مخرج دقت کنید.کتاب را با دقت بیشتری بخوانید.
انتگرالهای چندگانه
  • حمیدرضا هادیان
با سلام
مثال 4 فصل 4 چاپ 18 ریاضی 2 صفحه 316:
دامنه ای دقیقا با مشخصات ذکر شده در هر دو ربع اول و سوم موجود است که در متن سوال گفته شده که برای x,y>0 انتگرال گرفته شود. در صورتی که نسبت به x,y انتگرال گرفته شود، میتوان به راحتی ناحیه مثبت را در نظر گرفت، اما پس از تغییر متغیر دو ناحیه تبدیل به یک ناحیه میشود و با محدود کردن u,v نمیتوان دو ناحیه را تمییز داد.چگونه میتوان این مشکل را حل کرد؟
به عنوان مثال اگر f(xy)= (xy)^2 باشد جواب باید نصف پاسخ داده شده گردد.
سلام.در تغییر متغیر به صورت u , v باید مراقب باشیم که توابع u , v دو ناحیه را به یک ناحیه تصویر نکنند.برای مثال در مثال 4 اگر ما شرط x>0 و y>0 را در صورت سوال قرار نمی دادیم توابع u=xy و v=y/x یک به یک نبودند یعنی دو ناحیه را به یک ناحیه تبدیل می کردند.البته چون بررسی این موضوع در سطح ریاضی عمومی 2 قدری مشکل است،طراحان سوال مراقب هستند که این موضوع به وجود نیاید.اما اگر برای اطلاعات شخصی خودتان می خواهید ،در این حالت لازم است روی هر کدام از نواحی جداگانه انتگرال بگیریم یا آن که در صورت تقارن ،جواب را دو برابر کنیم.البته شما منظورتان را به طور عکس بیان کرده اید.منظور شما این نبوده که در صفحه u-v دو ناحیه ایجاد می شود.بلکه منظورتان آن است که اگر شرطx>0 وy>0 در صورت سوال وجود نداشت دو ناحیه xoy تبدیل به یک ناحیه در uoy می شوند.اگر احیانا این حالت در تست کنکور ارشد یا دکتری رخ داد،دانشجو باید جواب به دست آمده را 2 برابر کند یا هر ناحیه را جداگانه حل کند.اما چون بررسی این مطلب تخصصی است(این موضوع شبیه به بررسی نگاشت ها در ریاضی مهندسی است) طراحان مراقب هستند که رخ ندهد.موفق باشید.
رفع اشکال
  • نیما صیرفی نژاد
با سلام
بنده چنتا سوال داشتم!
اول این که در صفحه ۴۶۴ کتاب ریاضی ۲ مثال ۱۴ مگر در تابع در مبدا مخرج صفر نمیشد؟؟ پس ناپیوسته است و در نتیجه پایستار نیست! لطفا تفاوتش رو با صفحه ۴۶۷ نیز ذکر کنید!
و سوال دیگه این که برای سوالات درس نامه های قبلی همین فصل که هنوز راجع به پایستاری نخونده بودیم از الان به بعد باید اول پایستاری رو چک کنیم بعد اگه نبود از راه قبلی بریم؟؟
ممنون
سلام.در مثال 14 ما با یک مرز بسته که مبدا درون آن باشد روبرو نیستیم،بلکه با مرزی روبرو هستیم که از نقطه A به نقطه B می رود.A روی یک کره و B روی کره ی دیگر قرار دارد.پس نا پیوسته بودن F در (0,0,0) به این مرز ربطی پیدا نمی کند.در صفحه 467 ما دایره ای را بررسی کرده ایم که (0,0) درون آن قرار دارد.در مورد سوال دوم:بله بهتر است ابتدا پایستاری را چک کنید.اگر پایستار نبود از روش های قبلی استفاده کنید.برخی از سوالات بدون استفاده از پایستاری،به سختی حل می شوند.موفق باشید
تشخیص نواحی محدب در انتگرال های دوگانه
  • حمید
با سلام
استاد نواحی محدب برای حل انتگرال های دوگانه ابتدای فصل کتاب ریاضی 2 را چگونه میتوان بهتر تشخیص داد!چرا نمیتوان آن ها را با حدود عددی حل کرد!
سلام،منظور از ناحیه محدب آن است که وقتی پاره خطی را از این ناحیه عبور می دهید از یک نقطه وارد و از یک نقطه خارج و دوباره به آن وارد شود ناحیه محدب نیست.منظور شما رو از حل به صورت عادی توجه نمی شوم!
رفع اشکال
  • حمید
باسلام و عرض تشکر از زحمات جنابعالی
آقای مهندس سوال11صفحه114 در کتاب ریاضی عمومی2(چاپ هفدهم)مسئله را با توجه به نکته 3 صفحه قبل حل نموده اید!اما در این نکته گفته اید که تقارن نسبت به محور y ولی در حل مثال تقارن نسبت به محور x در نظر گرفته و حاصل را در 2 ضرب کرده اید!سوال من این است که صرف زوج،بودن عبارت زیر انتگرال،میتوان با توجه به تقارن روی هر کدام از محورها،انتگرال را در 2 ضرب کرد و حل را ادامه داد؟
چرا این مثال به صورت عادی و گذاشتن حدود بصورت عددی اشتباه جواب میدهد؟
سلام،خواهش می کنم.از زوج بودن تابع( f(x,y و تقارن ناحیه نسبت به هر کدام از محور ها می توان استفاده کرد.حل عادی هم ایرادی ندارد فقط طولانی میشود.نوشتن کران ها بدون استفاده از تقارن سخت می شود.توصیه می کنم کتاب ریاضی عمومی 2 چاپ 18 را مطالعه کنید.همه ی ابهامات شما در مورد نواحی و کران های انتگرال دوگانه برطرف خواهد شد. موفق باشید
مشتق جزیی
  • فربد
در صفحه 143، نکته 2
قسمت f در همسایگی محذوف صفر دارای مشتقات پیوسته باشد......
من این شرط پیوستگی مشتقات جزیی رو گیج شدم چجوری باید چک کنم؟؟
باید از تابع مشتق بگیریم با قواعد مشتق گیری و بعد ببینم تو نقطه مورد نظر پیوسته هست یا نه؟؟؟
یا مثلا همین صفحه 143، قضیه بالای مثال 9، اگر مشتق های جزیی مرتبه دوم f در یک همسایگی نقطه p موجود و پیوسته باشه......
باید مشتق دوم نسبت به x و y رو به طور جداگانه، هر کدوم رو حساب کرد و بعد اگه پیوسته شدن کجاز به تغییر ترتیب در مشتق مختلط هستیم؟؟
در صفحه 144، مثال 11، طبق نکته 3، سوال حل شده، اما چطور فهمیدین عبارت سوال دارای مشتقات جزیی پیوسته هست؟؟ تو سوا نه نقطه ای داده شده نه چیزی؟؟
مرسی از راهنماییتون استاد
سلام،برخی از توابع مانند چند جمله ای ها (x^n, y^n) توابع نمایی e^x و e^y و sinx ،cosx و ترکیب آنها با هم مثل e^x^2 یا( sin(x^4*y می دانیم که همه جا مشتق پذیرند و مشتق های جزئی آنها هم همه جا پیوسته اند و نیازی به بررسی کردن این شرط نداریم.شرط پیوستگی مشتق های جزیی را فقط برای توابع چند ضابطه ای،قدر مطلق،و جز صحیح لازم است بررسی کنید .درست است که قضیه می گوید باید شرط پیوستگی مشتق جزیی را چک کنیم اما به جز توابع چند ضابطه ای تابع قدر مطلق f و تابع جز صحیح (که این ها هم در واقع چند ضابطه ای هستند)در مورد سایر توابع می دانیم که مشتق های جزیی پیوسته اند و نیازی به بررسی کردن نداریم.
مشتق جزیی
  • فربد
استاد در مثال 1 گفته شده که مقدار مشتق این تابع را به دلیل اینکه یک تابع دو متغیره است و در مشتق ضمنی یکطرف تساوی عدد ثابت داشتیم نه متغیر جدید نمی توان از راه مشتق ضمنی حل کرد، اگر متغیر z رو به طرف دیگه تساوی ببریم طرف دوم تساوی برابر با عدد 0 میشه!!!!!!
واسه خودم مثال y=x رو زدم که وقتی بخوایم ازش مشتق بگیریم برابر با 1 میشه، اما از فرمول ضمنی هم اگر x رو به طرف y ببریم، پاسخ درست و برابر با 1 میشه.
الان تو ایم مثالم میشه از مشتق ضمنی استفاده کرد اما راحتتره که از راه معمول بریم یا اصلا نمیشه و ما اشتباه تحلیل کردیم؟؟
سلام،برای توابع یک متغیره مانند (y=f(x چه آنها را به همین صورت بنویسیم و چه به صورتy-f(x)=0 بنویسیم و مشتق ضمنی بگیریم تفاوتی ندارد زیرا ابهامی نداریم که x متغیر مستقل (ورودی) است و y متغیر وابسته (خروجی).اما وقتی به معادله ای مثل y^2+ x^2=z می رسیم اگر بخواهیم مشتق نسبت به x بگیریم اول باید معلوم شود که آیا y , z هر دو به x بستگی دارند یا y مستقل از x است و فقط z به x,y بستگی دارد.به همین خاطر در این موارد استفاده از مشتق ضمنی درست نیست مگر آنکه معلوم شود کدام متغیر وابسته و کدام مستقل است.
توابع چند متغیره
  • فربد
صفحه 133، مثال 23، L2 و L3 حدود مکرر (f(x,y هستند، پس چرا طبق نکته با رسیدن به این نتیجه که وجود ندارند میگیم حد( f( x,y وجود داره ؟؟ جمله ی زیرشم نوشته اگر تابه روی خط x=x0 و........ ممکن است حد مکرر موجود نباشد اما حد تابع موجود باشد، الان با نکته 4 این جمله تناقض نداره؟؟
بعد تو مثال 24، از وجود نداشتن حدود مکرر، نتیجه گرفته شده تابع حد ندارد، الان چی شده من گیج شدم!!!؟؟؟
یه سوال دیگه در سوال 24، جمله اول نوشته شده روی خط x=0 و روی خط y=0 مقدار تابع برابر 1 است، اما مگه در صورتی که مقدار x=0 باشه، از ضابطه دوم تابع مقدار تابع برابر 0 نمیشه،؟؟
چون در حل حد هم وقتی حالت x=0 را در نظر گرفتین از ضابطه دوم استفاده شده که برابر 0 هست.
مرسی از راهنماییتون
به آخرین جمله نکته 4 توجه کنید،یکبار دیگر نکته 4 را توضیح می دهم:اگر تابع( F(X,Y علاوه بر (X0,Y0 )در نقاط دیگر هم تعریف شده باشد بین حدهای مکرر و حد تابع هیچ رابطه ای وجود نداردمثل مثال 23 بر روی تمام خط X=0 و Y=0 تعریف نشده است. اما اگر در همه نقاط اطراف( X0,Y0 ) تعریف شده باشد ،مثل مثال 24 از وجود نداشتن حد مکرر می توان گفت حد تابع هم وجود ندارد.موفق باشید
توابع چند متغیره
  • فربد
استاد من تو این قسمت تا حالا به چندتا مشکل روبرو شدم، به صورت پیام های جدا میپرسم که جواب دادنش راحت تر باشه
صفحه 130،مثال 13، گزینه 1، در توضیح گفته شده چون درجه صورت و مخرج یکی است، مگه این قانون برای مواقعی نیست که مخرج فقط ریشه 0 داشته باشه؟؟
الان مخرج گزینه 1 به ازای نقاط روی خط y=-x صفر میشه، پس غیر از نقطه 0 هست، با روش مسیرهای متفاوت به همون جواب وجود ندارد رسیدم ولی برای استفاده از نکته کجا رو اشتباه کردم؟؟
به دو دلیل حد وجود ندارد .هم به دلیلی که شما می گویید و هم به دلیلی که در کتاب آمده است(این نکته فقط برای حالتی که می گویید نیست).
توابع چند متغیره
  • فربد
با سلام
استاد در صفحه 130 نکته 2، قسمت 1،
گفته شده اگر هر یک از جملات صورت ، درجه ای بیشتر از تک تک جملات مخرج...
منظور از هر یک از جملات صورت( اگر جمع یا تفریق در صورت باشه) اینه که هر کدام از جمله ها اگر این خاصیت رو داشته باشن، یا هر کدوم از جملات صورت باید به طور جداگانه این خاصیت رو داشته باشن تا نکته درست باشه؟
سلام.همه ی جمله ها به طور جداگانه باید این خاصیت را داشته باشند.مثلا برای X^2+Y^3/X^2+Y^2 درست نیست.
انتگرال
  • behzad
سلام استاد
انتگرال رو بررسی نکردین؟؟؟
سلام،پاسخ سوالتان ایمیل شد.احتمالا در جایگذاری اشتباه می کردید.